Упр.1417 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вершины, — на данной прямой.

Построим искомый правильный треугольник.

1. Построим окружность, симметричную окружности с центром $$O_2$$ относительно прямой $$a$$. Обозначим её центр через $$O_2’$$.
2. Отметим одну из точек пересечения окружностей с центрами $$O_1$$ и $$O_2’$$. Обозначим эту точку через $$A$$.
3. Через точку $$A$$ проведём перпендикуляр к прямой $$a$$ и обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $$a$$ через $$H$$.
4. На прямой $$AH$$ отложим отрезок $$HB=AH$$.
5. Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$AB$$. Точку её пересечения с прямой $$a$$ обозначим через $$C$$.

Тогда $$\triangle ABC$$ — правильный: действительно, по построению $$AB=AC$$, а точка $$H$$ является серединой основания $$AB$$ и лежит на прямой $$a$$, значит $$CH$$ — высота треугольника. В правильном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой, поэтому полученная фигура удовлетворяет условию задачи.

Ответ: построение выполнено.