Упр.1416 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Пусть $$O=AC\cap BD$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$O$$ — центр симметрии параллелограмма $$ABCD$$.

Так как $$E\in AB$$ и $$AB\parallel CD$$, то при центральной симметрии относительно точки $$O$$ сторона $$AB$$ переходит в $$CD$$, а точка $$E$$ — в некоторую точку $$G$$ на стороне $$CD$$. Значит, $$O$$ является серединой отрезка $$EG$$.

Аналогично, поскольку $$F\in BC$$ и $$BC\parallel AD$$, при той же симметрии точка $$F$$ переходит в точку $$H$$ на стороне $$AD$$. Следовательно, $$O$$ является серединой отрезка $$FH$$.

Итак, диагонали $$EG$$ и $$FH$$ параллелограмма $$EFGH$$ пересекаются и делятся точкой $$O$$ пополам. Значит, $$O$$ — центр симметрии параллелограмма $$EFGH$$.

Следовательно, точки пересечения диагоналей данных параллелограммов совпадают.