Упр.1415 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.

Пусть в треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ выполнены условия:

$$AC=A_1C_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle A-\angle B=\angle A_1-\angle B_1,$$

причём $$AC<BC$$ и $$A_1C_1<B_1C_1.$$ Докажем, что $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Отложим на стороне $$AB$$ точку $$D$$ так, что $$AD=DB$$, и проведём через неё прямую $$DE\perp AB$$, где $$E\in BC.$$ Тогда $$DE$$ — медиана и высота треугольника $$ABE$$, значит, $$BE=AE$$. Кроме того,

$$\angle BAE=\angle B,\qquad \angle EAC=\angle A-\angle B.$$

Аналогично в треугольнике $$A_1B_1C_1$$ построим точку $$D_1$$ на стороне $$A_1B_1$$ так, что $$A_1D_1=D_1B_1$$, и проведём $$D_1E_1\perp A_1B_1$$, где $$E_1\in B_1C_1.$$ Тогда

$$\angle E_1A_1C_1=\angle A_1-\angle B_1.$$

По условию $$\angle A-\angle B=\angle A_1-\angle B_1,$$ значит,

$$\angle EAC=\angle E_1A_1C_1.$$

Кроме того,

$$AE+EC=BC,\qquad A_1E_1+E_1C_1=B_1C_1.$$

Так как $$BC=B_1C_1$$, то

$$AE+EC=A_1E_1+E_1C_1.$$

Совместим отрезки $$AC$$ и $$A_1C_1.$$ При равных углах $$\angle EAC$$ и $$\angle E_1A_1C_1$$ и равенстве сумм соответствующих отрезков получаем

$$AE=A_1E_1,\qquad EC=E_1C_1.$$

Тогда треугольники $$\triangle AEC$$ и $$\triangle A_1E_1C_1$$ равны по трём сторонам:

$$AC=A_1C_1,\quad AE=A_1E_1,\quad EC=E_1C_1.$$

Следовательно, при наложении они совмещаются. Так как точки $$B$$ и $$B_1$$ лежат на продолжениях отрезков $$EC$$ и $$E_1C_1$$ соответственно, а $$BE=AE$$ и $$B_1E_1=A_1E_1,$$ то совместятся и вершины $$B$$ и $$B_1.$$ Значит,

$$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1.$$

Ответ: треугольники равны.