Упр.1414 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.
Пусть даны трапеции $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, у которых $$AD \parallel BC$$, $$A_1D_1 \parallel B_1C_1$$, а также
$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad CD=C_1D_1,\quad AD=A_1D_1.$$
Докажем, что трапеции равны.
Проведём отрезки $$CE \parallel AB$$, где $$E \in AD$$, и $$C_1E_1 \parallel A_1B_1$$, где $$E_1 \in A_1D_1$$.
Тогда четырёхугольники $$ABCE$$ и $$A_1B_1C_1E_1$$ — параллелограммы, значит
$$AB=CE,\quad BC=AE,$$
$$A_1B_1=C_1E_1,\quad B_1C_1=A_1E_1.$$
Из условия $$AB=A_1B_1$$ и $$BC=B_1C_1$$ получаем
$$CE=C_1E_1,\quad AE=A_1E_1.$$
Кроме того,
$$ED=AD-AE,\quad E_1D_1=A_1D_1-A_1E_1.$$
Так как $$AD=A_1D_1$$ и $$AE=A_1E_1$$, то
$$ED=E_1D_1.$$
Теперь в треугольниках $$ECD$$ и $$E_1C_1D_1$$ имеем
$$CE=C_1E_1,\quad CD=C_1D_1,\quad ED=E_1D_1.$$
Следовательно, $$\triangle ECD \cong \triangle E_1C_1D_1$$ по трём сторонам. Значит, существует наложение, при котором $$C \to C_1$$, $$D \to D_1$$, а вместе с ними и точки $$E \to E_1$$.
Тогда прямые $$AD$$ и $$A_1D_1$$ совпадут как продолжения отрезков $$ED$$ и $$E_1D_1$$, а через точку $$A$$ можно провести только одну прямую, параллельную $$CE$$. Поэтому точка $$B$$ совместится с точкой $$B_1$$.
Итак, при наложении совместились все соответствующие вершины, значит
$$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1.$$
Следовательно, трапеции равны.
