Упр.1412 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны два равных отрезка АВ и А1В1. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки А и В отображаются соответственно в точки А1 и В1.

Подробный ответ

Возьмём на плоскости произвольную точку $$M$$, не лежащую на прямой $$AB$$.

Пусть при некотором движении $$g$$ точки переходят так: $$A \mapsto A_1$$, $$B \mapsto B_1$$. Тогда точка $$M$$ перейдёт в некоторую точку $$N$$, причём, так как движение сохраняет расстояния, имеем

$$AB=A_1B_1,$$

$$AM=A_1N,$$

$$BM=B_1N.$$

Значит, точка $$N$$ должна одновременно принадлежать окружности с центром $$A_1$$ и радиусом $$AM$$ и окружности с центром $$B_1$$ и радиусом $$BM$$. Эти окружности пересекаются в двух точках, обозначим их $$N_1$$ и $$N_2$$.

Следовательно, существует ровно два движения, переводящих треугольник $$AMB$$ в треугольник с вершинами $$A_1$$, $$B_1$$ и одной из точек $$N_1$$ или $$N_2$$. При этом для каждого из этих движений выполняется

$$A \mapsto A_1,\qquad B \mapsto B_1.$$

Итак, таких движений два.