Упр.1412 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны два равных отрезка $$AB$$ и $$A_1B_1$$. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки $$A$$ и $$B$$ отображаются соответственно в точки $$A_1$$ и $$B_1$$.

Возьмём на плоскости третью точку $$M$$, не лежащую на прямой $$AB$$.

Пусть при движении $$g$$ точки $$A$$ и $$B$$ переходят соответственно в точки $$A_1$$ и $$B_1$$. Тогда точка $$M$$ перейдёт в некоторую точку $$N$$, причём расстояния сохраняются:

$$AB=A_1B_1,$$

$$AM=A_1N,$$

$$BM=B_1N.$$

Значит, точка $$N$$ должна одновременно принадлежать двум окружностям: с центром $$A_1$$ и радиусом $$AM$$, а также с центром $$B_1$$ и радиусом $$BM$$. Эти окружности пересекаются в двух точках, обозначим их $$N_1$$ и $$N_2$$.

Следовательно, существует ровно два движения, переводящих $$A$$ в $$A_1$$ и $$B$$ в $$B_1$$: одно из них переводит $$M$$ в $$N_1$$, другое — в $$N_2$$.

Остаётся заметить, что других вариантов быть не может, так как образ точки $$M$$ должен удовлетворять тем же условиям сохранения расстояний, а значит, может быть только одной из двух точек пересечения указанных окружностей.

Ответ: существуют ровно два движения.