Упр.1411 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. При данном движении $$g$$ точка $$A$$ отображается в точку $$B$$, а точка $$B$$ — в точку $$A$$. Докажите, что $$g$$ — центральная симметрия или осевая симметрия.

Рассмотрим произвольную точку $$M$$ и её образ $$N$$ при движении $$g$$. Так как движение сохраняет расстояния, то из условий $$A \xrightarrow{g} B$$ и $$B \xrightarrow{g} A$$ получаем

$$AM=BN,\qquad BM=AN.$$

Следовательно, четырёхугольник $$AMBN$$ имеет попарно равные противоположные стороны, значит, это параллелограмм.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$AMBN$$. Тогда диагонали делятся этой точкой пополам:

$$AO=OB,\qquad MO=ON.$$

Рассмотрим возможные случаи.

• Если $$M\neq N$$, то параллелограмм $$AMBN$$ не вырожден. Тогда движение $$g$$ переводит каждую точку в симметричную относительно точки $$O$$, то есть $$g$$ является центральной симметрией с центром $$O$$.
• Если $$M=N$$, то для всех точек образ совпадает с исходной точкой на некоторой прямой, а значит, движение $$g$$ может быть осевой симметрией.

Итак, движение $$g$$, при котором $$A$$ переходит в $$B$$, а $$B$$ — в $$A$$, является либо центральной симметрией, либо осевой симметрией.