Упр.1409 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: АЕВ, АКС, CFD, DLB, причём AC = DB. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке EF как на диаметре.

Подробный ответ

Пусть $$OA=R$$, $$OC=r$$. Тогда из условия $$AC=DB$$ получаем

$$AC=DB=\frac{R-r}{2}.$$

Кроме того, отрезок $$EF$$ равен сумме радиусов соответствующих полуокружностей:

$$EF=R+r.$$

Площадь закрашенной фигуры равна сумме площадей двух полуокружностей радиусов $$R$$ и $$r$$ без площадей двух меньших полуокружностей, построенных на отрезках $$AC$$ и $$DB$$:

$$ S_F=\frac{1}{2}\pi R^2+\frac{1}{2}\pi r^2-\pi\left(\frac{R-r}{2}\right)^2. $$

Преобразуем:

$$ S_F=\frac{\pi}{2}(R^2+r^2)-\frac{\pi}{4}(R-r)^2 $$

$$ =\frac{\pi}{4}\bigl(2R^2+2r^2-(R^2-2Rr+r^2)\bigr) $$

$$ =\frac{\pi}{4}(R^2+2Rr+r^2) =\frac{\pi}{4}(R+r)^2. $$

Так как $$EF=R+r$$, то

$$ S_F=\frac{\pi}{4}EF^2. $$

Но площадь круга, построенного на отрезке $$EF$$ как на диаметре, равна

$$ S=\pi\left(\frac{EF}{2}\right)^2=\frac{\pi}{4}EF^2. $$

Следовательно, площадь закрашенной фигуры равна площади этого круга.