Упр.1409 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: АЕВ, АКС, CFD, DLB, причём $$AC=DB$$. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке $$EF$$ как на диаметре.
Обозначим радиусы больших полуокружностей через $$R$$ и $$r$$. Тогда их диаметры равны $$2R$$ и $$2r$$.
По условию $$AC=DB$$. На рисунке эти отрезки — разности соответствующих диаметров, поэтому
$$AC=DB=\frac{R-r}{2}.$$
Кроме того, весь отрезок $$EF$$ состоит из двух радиусов, значит
$$EF=R+r.$$
Площадь закрашенной фигуры равна сумме площадей двух полуокружностей минус площади двух меньших полуокружностей:
$$S=\frac{1}{2}\pi R^2+\frac{1}{2}\pi r^2-\pi\left(\frac{R-r}{2}\right)^2.$$
Упростим:
$$S=\frac{\pi}{2}(R^2+r^2)-\frac{\pi}{4}(R^2-2Rr+r^2)$$
$$S=\frac{\pi}{4}(2R^2+2r^2-R^2+2Rr-r^2) =\frac{\pi}{4}(R^2+2Rr+r^2) =\frac{\pi}{4}(R+r)^2.$$
Так как $$EF=R+r$$, то
$$S=\frac{\pi}{4}EF^2.$$
Но $$\frac{\pi}{4}EF^2$$ — это площадь круга, построенного на отрезке $$EF$$ как на диаметре. Следовательно, площади равны.
Ответ: $$S=\dfrac{\pi EF^2}{4}$$.
