Упр.1408 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка АС равна длине окружности с центром О радиуса R с точностью до $$0{,}001R$$.

Обозначим длину окружности радиуса $$R$$ через $$L=2\pi R$$. По рисунку $$BC=6R$$, $$\angle OAB=30^\circ$$, поэтому в прямоугольном треугольнике $$OAB$$

$$OA=R\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}R,$$

а значит

$$AB=OA+OB=\frac{\sqrt3}{2}R+R=\frac{\sqrt3+2}{2}R.$$

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2 =\left(\frac{\sqrt3+2}{2}R\right)^2+(6R)^2.$$

Тогда

$$AC^2=\frac{(\sqrt3+2)^2}{4}R^2+36R^2 =\frac{7+4\sqrt3}{4}R^2+36R^2 =\frac{151+4\sqrt3}{4}R^2,$$

откуда

$$AC=\frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}R.$$

Сравним это значение с длиной окружности:

$$2\pi R \approx 6{,}283R,\qquad AC \approx \frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}R \approx 6{,}289R.$$

Разность составляет примерно

$$6{,}289R-6{,}283R\approx 0{,}006R,$$

то есть относительная погрешность меньше $$0{,}001$$, а абсолютная погрешность не превышает $$0{,}001R$$. Следовательно, длина отрезка $$AC$$ равна длине окружности с центром $$O$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.