Упр.1408 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка АС равна длине окружности с центром О радиуса R с точностью до 0,001R.

Из рисунка имеем $$BC=6R$$ и $$\angle ACB=60^\circ.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$OA=R\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}R,$$

следовательно,

$$AB=OA+R=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)R=\frac{\sqrt{3}+2}{2}R.$$

По теореме Пифагора:

$$AC^2=AB^2+BC^2.$$

Подставим найденные значения:

$$AC^2=\left(\frac{\sqrt{3}+2}{2}R\right)^2+(6R)^2$$

$$AC^2=\frac{(\sqrt{3}+2)^2}{4}R^2+36R^2=\frac{7+4\sqrt{3}}{4}R^2+36R^2$$

$$AC^2=\frac{151+4\sqrt{3}}{4}R^2,$$

откуда

$$AC=\frac{\sqrt{151+4\sqrt{3}}}{2}R.$$

Теперь сравним это значение с длиной окружности $$2\pi R$$:

$$\frac{AC}{2\pi R}=\frac{\sqrt{151+4\sqrt{3}}}{4\pi}\approx 1.0009.$$

Значит, относительное отклонение от $$2\pi R$$ составляет примерно

$$\delta\approx 0.0009<0.001.$$

Следовательно, длина отрезка $$AC$$ равна длине окружности с центром $$O$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.

Ответ

$$AC\approx 2\pi R$$, причём точность составляет $$0{,}001R$$.