Упр.1407 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Пусть $$ABCD$$ — квадрат, а $$A_1B_1C_1$$ — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса $$R$$. Докажите, что сумма $$AB+A_1B_1$$ равна длине полуокружности с точностью до $$0{,}01R$$.
Пусть окружность имеет радиус $$R$$.
Так как $$ABCD$$ — квадрат, вписанный в окружность, то его диагональ равна диаметру окружности:
$$AC=2R.$$
Но $$AC=AB\sqrt{2}$$, значит
$$AB=\frac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}.$$
Так как $$A_1B_1C_1$$ — правильный треугольник, вписанный в ту же окружность, то его сторона выражается через радиус описанной окружности:
$$A_1B_1=R\sqrt{3}.$$
Тогда
$$AB+A_1B_1=R\sqrt{2}+R\sqrt{3}=R(\sqrt{2}+\sqrt{3}).$$
Длина полуокружности равна
$$\frac{1}{2}\cdot 2\pi R=\pi R.$$
Сравним числа $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ и $$\pi$$:
$$\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 1{,}414+1{,}732=3{,}146,$$
$$\pi\approx 3{,}142.$$
Разность составляет
$$|3{,}146-3{,}142|=0{,}004<0{,}01.$$
Значит,
$$AB+A_1B_1$$
отличается от длины полуокружности $$\pi R$$ меньше чем на $$0{,}01R$$, что и требовалось доказать.
