Упр.1406 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.
Пусть $$\angle A=a,\quad \angle B=2a,\quad \angle C=4a.$$ Тогда
$$a+2a+4a=180^\circ,$$
откуда
$$a=\frac{180^\circ}{7},\quad \angle B=\frac{360^\circ}{7},\quad \angle C=\frac{720^\circ}{7}.$$
Внутренний угол правильного семиугольника равен
$$180^\circ-\frac{360^\circ}{7}=\frac{900^\circ}{7}.$$
Обозначим середины сторон $$AB,\,BC,\,CA$$ через $$M,\,N,\,P$$ соответственно, а основания высот — через $$A_1,\,B_1,\,C_1$$.
Тогда $$MN,\ PN,\ PM$$ — средние линии треугольника $$ABC$$, поэтому
$$MN\parallel AC,\quad PN\parallel AB,\quad PM\parallel BC,$$
и
$$MN=\frac12 AC,\quad PN=\frac12 AB,\quad PM=\frac12 BC.$$
Рассмотрим четырёхугольник $$BA_1CC_1$$. У него
$$\angle BA_1C=\angle BC_1C=90^\circ,$$
значит, его вершины лежат на окружности с диаметром $$BC$$. Центр этой окружности — точка $$P$$, поэтому
$$PB=PC=PA_1=PC_1=\frac12 BC.$$
Кроме того,
$$\angle C_1PA_1=2\angle C_1BA_1=2(90^\circ-\angle A)=2\left(90^\circ-\frac{180^\circ}{7}\right)=\frac{900^\circ}{7}.$$
Это как раз внутренний угол правильного семиугольника.
Аналогично, из того что $$MN\parallel AC$$ и $$PM\parallel BC$$, получаем
$$\angle CPM=180^\circ-\angle B=180^\circ-\frac{360^\circ}{7}=\frac{900^\circ}{7}.$$
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$AB_1CC_1$$. В нём
$$\angle AB_1C=\angle AC_1C=90^\circ,$$
значит, он тоже вписанный, а его центр — точка $$N$$. Следовательно,
$$NB_1=NC=NA=NC_1=\frac12 AC.$$
Так как $$PM=\frac12 AC,$$ то
$$PB_1=NB=\frac12 AC.$$
Отсюда
$$\triangle PA_1B_1 \cong \triangle NMC_1,$$
и потому
$$\angle PA_1B_1=\frac{900^\circ}{7}.$$
Итак, все стороны многоугольника, последовательно соединяющего точки $$B_1, A_1, P, C_1, M, N,$$ равны, а все его внутренние углы равны $$\frac{900^\circ}{7}$$. Значит, эти шесть точек являются шестью вершинами правильного семиугольника.
