Упр.1405 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Пусть $$M$$ — произвольная точка, лежащая внутри правильного $$n$$-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки $$M$$ к прямым, содержащим стороны $$n$$-угольника, равна $$nr$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности.
Обозначим через $$MH_1, MH_2, \ldots, MH_n$$ перпендикуляры, опущенные из точки $$M$$ на прямые, содержащие стороны правильного $$n$$-угольника.
Площадь правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ и радиусом вписанной окружности $$r$$ равна
$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot na\cdot r.$$
С другой стороны, этот же многоугольник можно разбить на $$n$$ треугольников с общей вершиной $$M$$ и основаниями, равными сторонам многоугольника. Тогда
$$S=S_1+S_2+\cdots+S_n =\frac12 a\cdot MH_1+\frac12 a\cdot MH_2+\cdots+\frac12 a\cdot MH_n.$$
Вынесем $$\frac12 a$$ за скобки:
$$S=\frac12 a\,(MH_1+MH_2+\cdots+MH_n).$$
Приравнивая два выражения для площади, получаем
$$\frac12\cdot na\cdot r=\frac12 a\,(MH_1+MH_2+\cdots+MH_n).$$
Сокращая на $$\frac12 a$$, имеем
$$MH_1+MH_2+\cdots+MH_n=nr.$$
Что и требовалось доказать.
