Упр.1401 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Около правильного пятиугольника А1А2А3А4А5 описана окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон А1А2, А2А3 и А3А4 пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О1 окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой АС.

Подробный ответ

Обозначим сторону правильного пятиугольника через $$a$$. Тогда

$$A_2A=A_2B=A_3B=A_3C=\frac a2.$$

В правильном пятиугольнике центральный угол равен

$$\angle A_2OA_3=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ,$$

а вписанный угол, опирающийся на дугу между соседними вершинами, равен

$$\angle AA_2B=\angle BA_3C=108^\circ.$$

Следовательно, треугольники $$AA_2B$$ и $$BA_3C$$ равны по двум сторонам и углу между ними, значит

$$AB=BC.$$

Итак, $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$.

Найдём его углы. Так как $$\angle A_2AB=180^\circ-108^\circ=72^\circ,$$ то

$$\angle ABC=180^\circ-2\angle A_2BA=180^\circ-(180^\circ-108^\circ)=108^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$

Проведём отрезок $$BA_5$$ и обозначим точку пересечения $$BA_5$$ с прямой $$AC$$ через $$M$$.

Треугольник $$A_2A_5A_3$$ равнобедренный, поэтому $$BA_5$$ является в нём медианой, биссектрисой и высотой. Значит, в треугольнике $$ABC$$ прямая $$BM$$ тоже является медианой, биссектрисой и высотой.

Центр описанной окружности $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к хорде $$BA_5$$, а центр вписанной окружности $$O_1$$ лежит на биссектрисе угла $$B$$, то есть на прямой $$BA_5$$. Следовательно, точки $$O$$ и $$O_1$$ лежат на прямой $$BA_5$$.

Теперь рассмотрим угол при вершине $$A$$:

$$\angle O_1AC=\frac12\angle BAC=18^\circ.$$

С другой стороны,

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ,$$

поэтому в равнобедренном треугольнике $$AOB$$

$$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^\circ-72^\circ}{2}=54^\circ.$$

Из построения следует, что прямая $$AC$$ является осью симметрии для точек $$O$$ и $$O_1$$: она проходит через середину отрезка $$OO_1$$ и перпендикулярна ему. Значит, центры $$O$$ и $$O_1$$ симметричны относительно прямой $$AC$$.