Упр.1401 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Около правильного пятиугольника $$A_1A_2A_3A_4A_5$$ описана окружность с центром $$O$$. Вершинами треугольника $$ABC$$ являются середины сторон $$A_1A_2$$, $$A_2A_3$$ и $$A_3A_4$$ пятиугольника. Докажите, что центр $$O$$ данной окружности и центр $$O_1$$ окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, симметричны относительно прямой $$AC$$.

Обозначим сторону правильного пятиугольника $$A_1A_2=a.$$ Тогда

$$A_2A=A_2B=A_3B=A_3C=\frac a2,$$

а центральный угол правильного пятиугольника равен

$$\angle A_1OA_2=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AA_2B$$ и $$\triangle BA_3C.$$ У них

$$A_2A=A_2B=A_3B=A_3C=\frac a2,$$

и

$$\angle AA_2B=\angle BA_3C=108^\circ,$$

значит, $$\triangle AA_2B \cong \triangle BA_3C.$$ Отсюда

$$AB=BC.$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC.$$ Тогда

$$\angle ABC=180^\circ-2\angle A_2BA=180^\circ-(180^\circ-108^\circ)=108^\circ,$$

а значит,

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$

Проведём отрезок $$BA_5$$ и обозначим через $$M$$ точку пересечения $$BA_5$$ с $$AC.$$ Так как треугольник $$A_2A_5A_3$$ равнобедренный, то $$BA_5$$ является медианой, биссектрисой и высотой треугольника $$ABC.$$ Следовательно, $$BM$$ — медиана, биссектриса и высота треугольника $$ABC.$$

Центр описанной окружности $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к хорде $$BA_5$$, а центр вписанной окружности $$O_1$$ лежит на биссектрисе угла $$A.$$ Поэтому оба центра лежат на прямой $$BA_5.$$

Кроме того,

$$\angle O_1AC=\frac12\angle BAC=18^\circ,$$

а также

$$\angle AOB=\angle A_1OA_2=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ.$$

Из симметрии относительно прямой $$AC$$ следует, что точка $$O$$ переходит в точку $$O_1$$, то есть центры $$O$$ и $$O_1$$ симметричны относительно прямой $$AC.$$

Что и требовалось доказать.