Упр.1400 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOC$$. Так как $$OA=R$$, $$OC=\frac{R}{2}$$ и $$\angle AOC=90^\circ$$, по теореме Пифагора получаем:

$$ AC^2=OA^2+OC^2=R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{5R^2}{4}. $$

Следовательно,

$$ AC=\frac{R\sqrt5}{2}. $$

Точка $$K$$ лежит на отрезке $$AC$$, причём $$CK=CO=\frac{R}{2}$$. Тогда

$$ AK=AC-CK=\frac{R\sqrt5}{2}-\frac{R}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}R. $$

Итак,

$$ AK=\frac{\sqrt5-1}{2}R, $$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$AK=\frac{\sqrt5-1}{2}R$$