Упр.1400 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

Рассмотрим треугольник $$AOC.$$ По условию $$OA=R,$$ $$OC=\frac{R}{2},$$ а $$\angle AOC=90^\circ.$$

По теореме Пифагора:

$$AC^2=OA^2+OC^2=R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{5R^2}{4},$$

значит,

$$AC=\frac{R\sqrt5}{2}.$$

Точка $$K$$ лежит на отрезке $$AC,$$ причём $$CK=CO=\frac{R}{2}.$$ Тогда

$$AK=AC-CK=\frac{R\sqrt5}{2}-\frac{R}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Следовательно,

$$AK=\frac{\sqrt5-1}{2}R,$$

то есть отрезок $$AK$$ равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса $$R.$$