Упр.1399 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$, $$AC$$ — биссектриса угла $$OAB$$. Докажите, что:
   а) треугольник $$ABC$$ подобен треугольнику $$OAB$$;
   б) $$AB=AC=OC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R$$.

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности радиуса $$R$$.

Так как десятиугольник правильный, то центральный угол

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

В треугольнике $$AOB$$ имеем $$OA=OB=R$$, значит он равнобедренный, и

$$\angle OAB=\angle ABO=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$

Поскольку $$AC$$ — биссектриса угла $$OAB$$, то

$$\angle BAC=\angle CAO=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$$

В треугольнике $$AOC$$ стороны $$OA=OC$$, значит он равнобедренный, поэтому

$$\angle ACO=\angle OAC.$$

Но $$\angle OAC=\angle OAB-\angle CAB=72^\circ-36^\circ=36^\circ,$$ следовательно

$$\angle ACO=36^\circ.$$

Тогда

$$\angle ACB=180^\circ-\angle BAC-\angle ACO=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ.$$

С другой стороны, в треугольнике $$AOB$$

$$\angle AOB=36^\circ,\qquad \angle OAB=72^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ получаем

$$\angle BAC=36^\circ,\qquad \angle ABC=180^\circ-36^\circ-108^\circ=36^\circ.$$

Значит, соответствующие углы треугольников $$ABC$$ и $$OAB$$ равны, поэтому

$$\triangle ABC \sim \triangle OAB.$$

Теперь найдём длины.

Из подобия треугольников следует

$$\frac{AB}{OA}=\frac{AC}{OB}=\frac{BC}{AB}.$$

Обозначим $$AB=x$$. Тогда из подобия и равенства $$OA=OB=R$$ получаем, что

$$AC=x.$$

Кроме того, в треугольнике $$AOC$$ имеем $$OA=OC=R$$, а также $$AC=x$$. По свойству биссектрисы

$$\frac{AB}{AO}=\frac{BC}{CO}.$$

Так как $$AB=AC=x$$, то $$BC=AO-OC=R-x$$, и потому

$$\frac{x}{R}=\frac{R-x}{x}.$$

Отсюда

$$x^2=R(R-x),$$

$$x^2+Rx-R^2=0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем

$$x=\frac{-R+\sqrt{R^2+4R^2}}{2}=\frac{-R+\sqrt5\,R}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Следовательно,

$$AB=AC=OC=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Ответ: $$\triangle ABC\sim\triangle OAB$$; $$AB=AC=OC=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$