Упр.1399 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла ОАВ. Докажите, что: a) треугольник ABC подобен треугольникОАВ; б) АВ = АС = ОС =корень5 — 1/2R.

а) В правильном десятиугольнике центральный угол равен

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

Так как $$OA=OB=R,$$ то $$\triangle AOB$$ равнобедренный, значит

$$\angle BAO=\angle ABO=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$

Поскольку $$AC$$ — биссектриса угла $$\angle OAB,$$ имеем

$$\angle BAC=\angle CAO=\frac{1}{2}\angle OAB=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$$

В треугольнике $$AOC$$ стороны $$OA=OC,$$ значит он равнобедренный, поэтому

$$\angle ACO=\angle CAO=36^\circ.$$

Тогда

$$\angle ACB=\angle ACO+\angle OCB.$$

Но точка $$C$$ лежит на биссектрисе, а из построения и равенства углов получаем, что

$$\angle ACB=72^\circ.$$

Следовательно, в треугольниках $$ABC$$ и $$OAB$$

$$\angle BAC=\angle AOB=36^\circ,\qquad \angle ABC=\angle OAB=72^\circ.$$

Значит,

$$\triangle ABC \sim \triangle OAB.$$

б) Из подобия треугольников следует

$$\frac{AB}{OA}=\frac{BC}{OB}=\frac{AC}{AB}.$$

Обозначим $$AB=x.$$ Тогда, так как $$AB=AC,$$ а $$OA=R,$$ получаем для треугольника $$AOC$$:

$$OC=x,\qquad AO=R.$$

По свойству биссектрисы в треугольнике $$AOB$$

$$\frac{AB}{AO}=\frac{BC}{CO}.$$

Подставим $$AB=AC=x,$$ $$AO=R,$$ $$BC=R-x,$$ $$CO=x$$:

$$\frac{x}{R}=\frac{R-x}{x}.$$

Отсюда

$$x^2=R(R-x),$$

$$x^2+Rx-R^2=0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем

$$x=\frac{-R+\sqrt{R^2+4R^2}}{2}=\frac{-R+\sqrt{5}R}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Значит,

$$AB=AC=OC=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Ответ

$$\triangle ABC \sim \triangle OAB,$$

$$AB=AC=OC=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$