Упр.1398 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В треугольнике ABC проведены высота АН длиной h, медиана AM длиной l, биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника ABC.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения высот треугольника $$ABC$$ через $$K$$. Нужно найти $$AK$$.

Рассмотрим треугольник $$AMH$$. Так как $$AH$$ — высота, то $$AH \perp BC$$, а точка $$H$$ лежит на $$BC$$. Следовательно, $$\angle AHM = 90^\circ$$, и по теореме Пифагора

$$ MH^2=AM^2-AH^2=l^2-h^2. $$

Так как $$N$$ — середина отрезка $$MH$$, то

$$ MN=NH=\frac{MH}{2}=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}. $$

Проведём через точки $$M$$ и $$O$$ прямые, перпендикулярные соответственно $$BC$$ и $$AC$$, и рассмотрим окружность с центром $$O$$. Тогда $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а точка $$E$$ — пересечение биссектрисы и серединного перпендикуляра — совпадает с центром этой окружности.

Так как $$M$$ и $$Q$$ — середины сторон треугольника $$ABC$$, то $$MQ$$ — средняя линия, значит

$$ MQ \parallel AB,\qquad MQ=\frac{AB}{2}. $$

Рассмотрим треугольники $$MOQ$$ и $$AKB$$. У них

$$ \angle MOQ=\angle AKB,\qquad \angle OMQ=\angle KAB, $$

так как соответствующие стороны лежат на параллельных прямых. Следовательно,

$$ \triangle MOQ \sim \triangle AKB. $$

Коэффициент подобия равен

$$ k=\frac{AB}{MQ}=2, $$

поэтому

$$ AK=2\,MO. $$

Теперь найдём $$MO$$. Из условия $$MN=NH$$, а также $$\angle AHN=\angle EMN=90^\circ$$, значит треугольники $$ANH$$ и $$ENM$$ равны, откуда

$$ AN=EN. $$

В треугольнике $$AOE$$ имеем $$OA=OE$$ как радиусы одной окружности, а также $$AN=EN$$. Значит, точка $$N$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AE$$, и в треугольнике $$ONM$$ получаем

$$ \angle ONM=\angle NAH,\qquad \angle OMN=\angle NHA=90^\circ. $$

Следовательно,

$$ \triangle ONM \sim \triangle NAH. $$

Из подобия:

$$ \frac{MN}{AN}=\frac{OM}{NH}. $$

Так как $$AN=AH=h$$, а $$MN=NH=\dfrac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}$$, то

$$ OM=\frac{MN\cdot NH}{AN} =\frac{\left(\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}\right)}{h} =\frac{l^2-h^2}{4h}. $$

Тогда

$$ AK=2MO=\frac{l^2-h^2}{2h}. $$