Упр.1398 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ проведены высота $$AH$$ длиной $$h$$, медиана $$AM$$ длиной $$l$$, биссектриса $$AN$$. Точка $$N$$ — середина отрезка $$MH$$. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до точки пересечения высот треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения высот треугольника $$ABC$$. Нужно найти $$AO$$.

Рассмотрим треугольник $$AMH$$. Так как $$AH$$ — высота, то $$AH \perp BC$$, а точка $$H$$ лежит на $$BC$$. Следовательно, $$\angle AHM=90^\circ$$, и по теореме Пифагора

$$MH^2=AM^2-AH^2=l^2-h^2.$$

По условию $$N$$ — середина отрезка $$MH$$, значит

$$MN=NH=\frac{MH}{2}=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}.$$

Проведём через точки $$M$$ и $$Q$$ серединные перпендикуляры к сторонам $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда их пересечение $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Поскольку $$M$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, то $$MQ$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$MQ \parallel AB,\qquad MQ=\frac{AB}{2}.$$

Рассмотрим треугольники $$MOQ$$ и $$AKB$$. У них

$$\angle MOQ=\angle AKB,\qquad \angle OMQ=\angle KAB,$$

так как стороны этих углов попарно параллельны. Следовательно,

$$\triangle MOQ \sim \triangle AKB.$$

Коэффициент подобия равен

$$k=\frac{AB}{MQ}=2,$$

поэтому

$$AK=2\,MO.$$

Теперь найдём $$MO$$. Так как $$N$$ — середина $$MH$$, а $$AN$$ — биссектриса, то в треугольнике $$ANH$$ имеем

$$\angle AHN=\angle EMN=90^\circ,$$

а также $$\angle ANH=\angle ENM$$ как вертикальные. Значит,

$$\triangle ANH \sim \triangle ENM,$$

откуда

$$AN=EN.$$

В треугольнике $$AOE$$ получаем $$OA=OE$$, то есть он равнобедренный. Тогда прямая $$ON$$ является медианой, биссектрисой и высотой, а значит $$ON \perp AM$$. Следовательно,

$$\angle ONM=\angle NAH,$$

и треугольники $$ONM$$ и $$NAH$$ подобны. Из подобия:

$$\frac{MN}{AN}=\frac{OM}{NH}.$$

Так как $$AN=EN$$ и $$N$$ — середина $$MH$$, то

$$AN=NH=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}.$$

Тогда

$$OM=\frac{MN\cdot NH}{AN}=\frac{\left(\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}\right)}{h}=\frac{l^2-h^2}{4h}.$$

Следовательно,

$$AK=2MO=\frac{l^2-h^2}{2h}.$$

Ответ: $$\frac{l^2-h^2}{2h}$$.