Упр.1397 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

В остроугольном треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ больше стороны $$BC$$, отрезки $$AM$$ и $$CN$$ — высоты треугольника, точка $$О$$ — центр описанной окружности. Угол $$ABC$$ равен $$Р$$, а площадь четырёхугольника $$NOMB$$ равна $$S$$. Найдите сторону $$AC$$.

Так как $$\angle ABC=\beta,$$ то по теореме синусов для треугольника $$ABC$$ имеем

$$\frac{AC}{\sin\beta}=2R,$$

откуда

$$AC=2R\sin\beta.$$

Найдём $$R$$ через площадь четырёхугольника $$NOMB.$$

Поскольку $$AM$$ и $$CN$$ — высоты, то точки $$M$$ и $$N$$ лежат на сторонах $$BC$$ и $$AB$$ соответственно, а треугольники $$OBN$$ и $$OBA$$ имеют общую высоту из точки $$O$$ к прямой $$AB$$. Поэтому

$$\frac{S_{OBN}}{S_{OBA}}=\frac{NB}{AB}.$$

Аналогично

$$\frac{S_{OBM}}{S_{OBC}}=\frac{BM}{BC}.$$

Тогда

$$S_{NOMB}=S_{OBN}+S_{OBM}=\frac{NB}{AB}S_{OBA}+\frac{BM}{BC}S_{OBC}.$$

Из подобия треугольников $$\triangle AMB$$ и $$\triangle CNB$$ получаем

$$\frac{AB}{CB}=\frac{MB}{NB}.$$

По теореме синусов

$$\frac{AB}{CB}=\frac{\sin C}{\sin A},$$

значит

$$\frac{NB}{AB}=\frac{\sin A}{\sin C}\cos\beta,\qquad \frac{BM}{BC}=\frac{\sin C}{\sin A}\cos\beta.$$

Кроме того,

$$S_{OBA}=\frac12R^2\sin 2C,\qquad S_{OBC}=\frac12R^2\sin 2A.$$

Подставим:

$$\begin{aligned} S_{NOMB} &=\frac12R^2\cos\beta\left(\frac{\sin A}{\sin C}\sin 2C+\frac{\sin C}{\sin A}\sin 2A\right)\\ &=\frac12R^2\cos\beta\left(\frac{\sin A}{\sin C}\cdot 2\sin C\cos C+\frac{\sin C}{\sin A}\cdot 2\sin A\cos A\right)\\ &=R^2\cos\beta(\sin A\cos C+\sin C\cos A)\\ &=R^2\cos\beta\sin(A+C). \end{aligned}$$

Так как $$A+C=180^\circ-\beta,$$ то

$$S_{NOMB}=R^2\cos\beta\sin(180^\circ-\beta)=R^2\sin\beta\cos\beta=\frac{R^2}{2}\sin 2\beta.$$

По условию $$S_{NOMB}=S,$$ значит

$$R^2=\frac{2S}{\sin 2\beta}.$$

Теперь найдём искомую сторону:

$$\begin{aligned} AC&=2R\sin\beta\\ &=2\sqrt{\frac{2S}{\sin 2\beta}}\sin\beta\\ &=2\sqrt{\frac{2S\sin^2\beta}{2\sin\beta\cos\beta}}\\ &=2\sqrt{S\tan\beta}. \end{aligned}$$

Ответ: $$AC=2\sqrt{S\tan\beta}.$$