Упр.1396 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ меньшее основание $$AD$$ равно $$3$$, а боковая сторона $$CD$$, не перпендикулярная к основаниям, равна $$6$$. Точка $$E$$ — середина отрезка $$CD$$, угол $$CBE$$ равен $$\alpha$$. Найдите площадь трапеции $$ABCD$$.
Опустим перпендикуляры $$DH\perp BC$$ и $$EK\perp BC$$, где $$H,K\in BC$$.
Тогда $$\angle DHC=\angle EKC=90^\circ$$, а $$\angle DCH=\angle ECK$$, значит, $$\triangle DHC\sim \triangle EKC$$.
Из подобия получаем коэффициент:
$$k=\frac{CD}{CE}=2,$$
так как $$E$$ — середина отрезка $$CD$$, значит $$CE=\frac{CD}{2}=3$$.
Следовательно, $$DH=2EK$$ и $$HC=2KC$$.
Обозначим $$KC=x$$. Тогда $$HC=2x$$, а
$$EK=\sqrt{EC^2-KC^2}=\sqrt{3^2-x^2}=\sqrt{9-x^2}.$$
По условию $$\angle CBE=\alpha$$, поэтому в прямоугольном треугольнике $$BKE$$
$$\tan\alpha=\frac{EK}{BK}.$$
Но $$BK=BC-KC=AD+HC-KC=3+2x-x=3+x,$$ значит
$$\sqrt{9-x^2}=(3+x)\tan\alpha.$$
Возведём в квадрат:
$$9-x^2=(3+x)^2\tan^2\alpha.$$
Решая это уравнение относительно $$x$$, получаем
$$x=3\cos 2\alpha.$$
Тогда
$$EK=\sqrt{9-9\cos^2 2\alpha}=3\sin 2\alpha,$$
а значит
$$h=DH=2EK=6\sin 2\alpha.$$
Площадь трапеции равна
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h.$$
Так как $$BC=AD+HC=3+2x=3+6\cos 2\alpha,$$ то
$$S=\frac{3+(3+6\cos 2\alpha)}{2}\cdot 6\sin 2\alpha=18\sin 2\alpha\,(1+\cos 2\alpha).$$
Ответ: $$18\sin 2\alpha\,(1+\cos 2\alpha).$$
