Упр.1395 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.

Обозначим стороны треугольника так: $$a=BC,\quad b=CA,\quad c=AB,$$ причём $$c<b<a.$$

Пусть $$O_1$$ — центр вписанной окружности, $$O_2$$ — центр описанной окружности. Требуется доказать, что $$b=\frac{a+c}{2}$$ тогда и только тогда, когда прямая $$O_1O_2$$ перпендикулярна одной из биссектрис треугольника.

1. Необходимость.

Проведём высоту $$BH\perp AC$$ и обозначим через $$F$$ точку пересечения прямой $$O_1O_2$$ с высотой $$BH$$. Пусть $$E$$ — точка пересечения биссектрисы $$BB_1$$ с серединным перпендикуляром к стороне $$BC$$.

Так как $$O_2B=O_2E=R,$$ то треугольник $$BO_2E$$ равнобедренный. Кроме того, $$O_2O_1\perp BB_1,$$ значит, прямая $$O_1O_2$$ является осью симметрии для соответствующих точек на биссектрисе и серединном перпендикуляре, откуда $$O_1B=O_1F.$$

Из параллельности $$BH\parallel O_1D\parallel EB_2$$ получаем $$HD=DB_2.$$ Тогда

$$AB_2=\frac{b}{2}.$$

Найдём $$AH$$ по теореме косинусов:

$$ AH=c\cos A=c\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}. $$

Тогда

$$ HD=DB_2=\frac{HB_2}{2}=\frac{1}{2}(AB_2-AH) =\frac{1}{2}\left(\frac{b}{2}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}\right) =\frac{a^2-c^2}{4b}. $$

С другой стороны, из разложения отрезка $$AD=AH+HB$$ получаем

$$ AD=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}+\frac{a^2-c^2}{4b} =\frac{2b^2+c^2-a^2}{4b}. $$

Но для отрезков касательных к вписанной окружности имеем:

$$ x+y=c,\quad y+z=a,\quad x+z=b, $$

откуда

$$ x=\frac{b+c-a}{2},\quad y=\frac{a+c-b}{2},\quad z=\frac{a+b-c}{2}. $$

Следовательно,

$$ AD=\frac{b+c-a}{2}. $$

Приравнивая два выражения для $$AD$$, получаем:

$$ \frac{2b^2+c^2-a^2}{4b}=\frac{b+c-a}{2}. $$

После преобразований:

$$ 2b^2+c^2-a^2=2b(b+c-a), $$

$$ c^2-a^2=2b(c-a), $$

$$ (c-a)(c+a-2b)=0. $$

Так как $$a\ne c,$$ то

$$ c+a-2b=0,\qquad b=\frac{a+c}{2}. $$

Необходимость доказана.

2. Достаточность.

Пусть теперь $$b=\frac{a+c}{2}.$$ Найдём $$AH$$ и $$AD$$:

$$ AH=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b} =\frac{\left(\frac{a+c}{2}\right)^2+c^2-a^2}{a+c} =\frac{5c-3a}{4}, $$

$$ AD=\frac{b+c-a}{2} =\frac{\frac{a+c}{2}+c-a}{2} =\frac{3c-a}{4}. $$

Тогда

$$ HD=AD-AH=\frac{a-c}{2}. $$

Кроме того,

$$ DB_2=AB_2-AD=\frac{b}{2}-AD =\frac{a+c}{4}-\frac{3c-a}{4} =\frac{a-c}{2}. $$

Значит, $$HD=DB_2.$$ Следовательно, прямая $$BH$$ проходит через точки, равноудалённые от соответствующих сторон, и потому $$BH\parallel O_1O_2.$$ Так как $$BH\perp AC,$$ то

$$ O_1O_2\perp BB_1. $$

Достаточность доказана.

Ответ

Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда $$O_1O_2\perp$$ одной из биссектрис треугольника; при этом $$b=\frac{a+c}{2}.$$