Упр.1394 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$, где $$p$$ — полупериметр, а $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ — стороны четырёхугольника.

Пусть $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, $$AB=a,\ BC=b,\ CD=c,\ DA=d,$$ а $$p=\dfrac{a+b+c+d}{2}$$ — полупериметр.

Обозначим диагональ $$BD$$ и рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$BCD$$. Так как четырёхугольник вписанный, то

$$\angle A+\angle C=180^\circ,$$

следовательно, $$\cos C=-\cos A$$ и $$\sin C=\sin A$$.

По теореме косинусов для диагонали $$BD$$ имеем:

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A,$$

$$BD^2=b^2+c^2-2bc\cos C=b^2+c^2+2bc\cos A.$$

Приравнивая эти выражения, получаем

$$a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2+2bc\cos A,$$

откуда

$$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$$

Тогда

$$\sin^2 A=1-\cos^2 A =1-\left(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\right)^2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\sin^2 A= \frac{4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4(ad+bc)^2}.$$

Числитель раскладывается на множители:

$$4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2 = \bigl((b+c)^2-(a-d)^2\bigr)\bigl((a+d)^2-(b-c)^2\bigr),$$

а значит

$$\sin^2 A= \frac{(a+b+c-d)(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)}{4(ad+bc)^2}.$$

Так как $$P=a+b+c+d=2p,$$ то

$$\sin^2 A= \frac{(P-2a)(P-2b)(P-2c)(P-2d)}{4(ad+bc)^2} = \frac{4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{(ad+bc)^2}.$$

Следовательно,

$$\sin A=\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc}.$$

Теперь найдём площадь четырёхугольника:

$$S=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD} =\frac12 ad\sin A+\frac12 bc\sin C.$$

Так как $$\sin C=\sin A,$$ то

$$S=\frac12(ad+bc)\sin A.$$

Подставим найденное значение $$\sin A$$:

$$S=\frac12(ad+bc)\cdot \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc} =\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$

Итак,

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$.