Упр.1393 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны.

Пусть $$AB=a,\ BC=b,\ CD=c,\ AD=d.$$

Так как четырёхугольник вписан в окружность, то его противоположные углы supplementary:

$$\angle B+\angle D=180^\circ,\qquad \angle A+\angle C=180^\circ.$$

Рассмотрим диагональ $$AC.$$ По теореме косинусов в треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ получаем:

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B,$$
$$AC^2=c^2+d^2-2cd\cos D.$$

Так как $$\angle D=180^\circ-\angle B,$$ то $$\cos D=-\cos B.$$ Тогда

$$a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2+2cd\cos B,$$
$$2(ab+cd)\cos B=a^2+b^2-c^2-d^2,$$
$$\cos B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}.$$

Подставим это в формулу для $$AC^2$$:

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cdot \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}$$
$$AC^2=\frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}.$$

Значит,

$$AC=\sqrt{\frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}}.$$

Аналогично для диагонали $$BD$$:

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A,$$
$$BD^2=b^2+c^2-2bc\cos C.$$

Так как $$\angle C=180^\circ-\angle A,$$ то $$\cos C=-\cos A.$$ Тогда

$$a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2+2bc\cos A,$$
$$2(ad+bc)\cos A=a^2+d^2-b^2-c^2,$$
$$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$$

Подставим:

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cdot \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$$
$$BD^2=\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}.$$

Следовательно,

$$BD=\sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}}.$$

Ответ: $$AC=\sqrt{\frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}},\quad BD=\sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}}.$$