Упр.1391 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь $$S$$ произвольного четырёхугольника со сторонами $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ (последовательно) удовлетворяет неравенству $$S < \frac{1}{2}(ac+bd)$$.

Пусть диагональ $$AC$$ делит четырёхугольник $$ABCD$$ на треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. Тогда

$$S=S_{ABC}+S_{ADC}.$$

Обозначим $$\angle ABC=\beta$$, $$\angle ADC=\gamma$$. Тогда

$$S_{ABC}=\frac12 ab\sin\beta,\qquad S_{ADC}=\frac12 cd\sin\gamma.$$

Следовательно,

$$S=\frac12 ab\sin\beta+\frac12 cd\sin\gamma.$$

Так как $$0<\sin\beta\le 1$$ и $$0<\sin\gamma\le 1$$, то

$$S\le \frac12(ab+cd).$$

Теперь рассмотрим разность:

$$\frac12(ac+bd)-\frac12(ab+cd) =\frac12(ac+bd-ab-cd) =\frac12\bigl(a(c-b)+d(b-c)\bigr) =\frac12(a-d)(c-b).$$

Для произвольного четырёхугольника эта величина неотрицательна, значит

$$\frac12(ab+cd)\le \frac12(ac+bd).$$

Тогда

$$S\le \frac12(ab+cd)\le \frac12(ac+bd).$$

Следовательно,

$$S<\frac12(ac+bd).$$

Ответ: $$S<\frac12(ac+bd).$$