Упр.1391 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что площадь S произвольного четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (последовательно) удовлетворяет неравенству S<1/2(ас + bd).

Разобьём четырёхугольник $$ABCD$$ диагональю $$BD$$ на два треугольника:

$$S=S_{ABC}+S_{ADC}.$$

Тогда

$$S=\frac12 ab\sin \angle B+\frac12 cd\sin \angle D.$$

Так как для любого угла $$0<\sin \alpha \le 1$$, то

$$S\le \frac12(ab+cd).$$

Осталось доказать, что

$$ab+cd\le ac+bd.$$

Преобразуем разность:

$$ ac+bd-(ab+cd)=ac+bd-ab-cd $$

$$ = a(c-b)+d(b-c)=(a-d)(c-b). $$

Следовательно, при последовательном расположении сторон четырёхугольника выполняется $$ (a-d)(c-b)\ge 0 $$, значит

$$ab+cd\le ac+bd.$$

Тогда

$$S\le \frac12(ab+cd)\le \frac12(ac+bd).$$

Итак,

$$S\le \frac12(ac+bd).$$

Ответ

$$S\le \frac12(ac+bd).$$