Упр.1390 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ODC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и OAD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм.

Подробный ответ

Обозначим $$OA=a,\; OB=b,\; OC=c,\; OD=d,\; \angle COD=\alpha.$$

Тогда площади треугольников $$OCD$$ и $$OBC$$ выражаются так:

$$S_{OCD}=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot \sin\alpha=\frac{cd}{2}\sin\alpha,$$

$$S_{OBC}=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac{bc}{2}\sin\alpha.$$

По условию $$S_{OCD}=\sqrt{S_{OBC}\cdot S_{OAD}}.$$ Тогда

$$S_{OCD}^2=S_{OBC}\cdot S_{OAD}.$$

Найдём $$S_{OAD}$$:

$$S_{OAD}=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot \sin\alpha=\frac{ad}{2}\sin\alpha.$$

Подставим:

$$\left(\frac{cd}{2}\sin\alpha\right)^2=\frac{bc}{2}\sin\alpha\cdot \frac{ad}{2}\sin\alpha.$$

После сокращения получаем:

$$c^2d^2=bc\cdot ad,$$

откуда

$$cd=ab.$$

Следовательно,

$$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OD}=k.$$

Кроме того, $$\angle BOC=\angle DOA$$ как вертикальные углы. Значит, треугольники $$BOC$$ и $$DOA$$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия следует равенство соответствующих углов:

$$\angle CBO=\angle ADO.$$

Так как точки $$B,O,D$$ лежат на одной прямой, то это означает, что прямые $$BC$$ и $$AD$$ параллельны.

Итак, $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$.

Если $$k=1$$, то из подобия получаем равенство треугольников $$BOC$$ и $$DOA$$, а значит, $$BC\parallel AD$$ и одновременно $$AB\parallel CD$$, то есть $$ABCD$$ — параллелограмм.