Упр.139 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника. На рисунке 76 АВ-CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) угол ABE = угол ADF; б) треугольник АВЕ = треугольник CDF.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle CDA$$.
По условию $$AB=CD$$, $$AD=BC$$, а сторона $$AC$$ у них общая. Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по трём сторонам.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
$$\angle ABC=\angle CDA,$$
$$\angle CAB=\angle DCA.$$
Так как $$BE$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$, то
$$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC.$$
Так как $$DF$$ — биссектриса угла $$\angle CDA$$, то
$$\angle ADF=\frac{1}{2}\angle CDA.$$
Но $$\angle ABC=\angle CDA$$, следовательно,
$$\angle ABE=\angle ADF.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ABE$$ и $$\triangle CDF$$. У них:
$$AB=CD$$,
$$\angle ABE=\angle ADF,$$
$$\angle BAE=\angle DCF,$$
поскольку $$\angle BAE=\angle BAC$$, а $$\angle DCF=\angle DCA$$, и при этом $$\angle BAC=\angle DCA$$.
Следовательно, $$\triangle ABE \cong \triangle CDF$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Ответ
а) $$\angle ABE=\angle ADF$$; б) $$\triangle ABE \cong \triangle CDF$$.
