Упр.139 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.
2. На рисунке 76 $$AB \parallel CD$$, $$AD = BC$$, $$BE$$ — биссектриса угла $$ABC$$, а $$DF$$ — биссектриса угла $$ADC$$. Докажите, что:
   а) $$\angle ABE = \angle ADF$$;
   б) $$\triangle ABE = \triangle CDF$$.

Рассмотрим равнобедренные треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$\angle A=\angle C$$. Аналогично, из равнобедренности $$\triangle A_1B_1C_1$$ получаем $$\angle A_1=\angle C_1$$.

По условию $$AC=A_1C_1$$ и $$\angle A=\angle A_1$$. Тогда из равенства $$\angle A=\angle A_1$$ и $$\angle A=\angle C$$, $$\angle A_1=\angle C_1$$ следует, что $$\angle C=\angle C_1$$.

Итак, в треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ равны сторона и два прилежащих к ней угла:

$$AC=A_1C_1,$$
$$\angle A=\angle A_1,$$
$$\angle C=\angle C_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.