Упр.1389 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах квадрата $$MNPQ$$ взяты точки $$A$$ и $$B$$ так, что $$NA=\frac{1}{2}MN$$, $$QB=\frac{1}{3}MN$$ (рис. 369). Докажите, что угол $$AMB=45^\circ$$.

Пусть $$MN=a.$$ Тогда по условию

$$NA=\frac12a,\qquad QB=\frac13a.$$

Найдём длины сторон треугольника $$AMB$$.

Так как $$MNPQ$$ — квадрат, то $$MN\perp NP$$ и $$MN\perp MQ$$.

В прямоугольном треугольнике $$MNA$$:

$$AM^2=MN^2+NA^2=a^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac{5a^2}{4},$$

откуда

$$AM=\frac{a\sqrt5}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$APB$$:

$$AP=NP-NA=a-\frac a2=\frac a2,$$

поэтому

$$AB^2=AP^2+PB^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2=\frac{25a^2}{36},$$

значит

$$AB=\frac{5a}{6}.$$

В прямоугольном треугольнике $$MBQ$$:

$$MQ=a,\qquad BQ=\frac a3,$$

следовательно

$$MB^2=MQ^2+BQ^2=a^2+\left(\frac a3\right)^2=\frac{10a^2}{9},$$

то есть

$$MB=\frac{a\sqrt{10}}{3}.$$

Теперь найдём косинус угла $$AMB$$ по теореме косинусов:

$$\cos \angle AMB= \frac{AM^2+MB^2-AB^2}{2\cdot AM\cdot MB} = \frac{\frac{5a^2}{4}+\frac{10a^2}{9}-\frac{25a^2}{36}}{2\cdot \frac{a\sqrt5}{2}\cdot \frac{a\sqrt{10}}{3}}.$$

Приведём числитель к общему знаменателю:

$$\frac{5a^2}{4}+\frac{10a^2}{9}-\frac{25a^2}{36} = \frac{45a^2+40a^2-25a^2}{36} = \frac{60a^2}{36} = \frac{5a^2}{3}.$$

Тогда

$$\cos \angle AMB= \frac{5a^2/3}{a^2\sqrt{50}/3} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt2}.$$

Следовательно,

$$\angle AMB=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.