Упр.1388 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки, $$k$$ — данное положительное число, не равное $$1$$.
   а) Докажите, что множество всех точек $$M$$, удовлетворяющих условию $$AM=kBM$$, есть окружность (окружность Аполлония).
   б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки $$A$$ и $$B$$, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

Пусть точки $$A$$ и $$B$$ лежат на оси $$Ox$$, причём $$A(0,0),\; B(a,0)$$, где $$a=AB$$. Обозначим через $$M(x,y)$$ произвольную точку, для которой выполняется условие $$AM=k\,BM$$, где $$k>0,\; k\ne 1$$.

а)

Из условия имеем

$$AM^2=k^2BM^2.$$

По формуле расстояния:

$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=(x-a)^2+y^2.$$

Тогда

$$x^2+y^2=k^2\bigl((x-a)^2+y^2\bigr).$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2-k^2(x-a)^2+(1-k^2)y^2=0,$$
$$x^2-2k^2ax+k^2a^2-k^2x^2+(1-k^2)y^2=0.$$

Так как $$k\ne 1$$, разделим на $$1-k^2$$ и дополним до квадрата:

$$x^2+2\frac{k^2a}{1-k^2}x+y^2=\frac{k^2a^2}{1-k^2},$$

$$\left(x+\frac{k^2a}{1-k^2}\right)^2+y^2=\left(\frac{ka}{1-k^2}\right)^2.$$

Это уравнение окружности с центром

$$C\left(-\frac{k^2a}{1-k^2},\,0\right)$$

и радиусом

$$R=\frac{ka}{|1-k^2|}.$$

Следовательно, множество всех точек $$M$$, удовлетворяющих условию $$AM=k\,BM$$, есть окружность Аполлония.

б)

Пусть $$O_1$$ — центр любой окружности, проходящей через точки $$A$$ и $$B$$, а $$E$$ — точка пересечения этой окружности с окружностью Аполлония.

Так как окружность с центром $$O_1$$ проходит через $$A$$ и $$B$$, то её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. Значит, если $$D$$ — основание этого перпендикуляра на ось $$Ox$$, то

$$D\left(\frac a2,\,0\right).$$

Для точки $$E$$ на окружности Аполлония имеем

$$CE=R=\frac{ka}{|1-k^2|}.$$

Для окружности с центром $$O_1$$ радиус равен $$DE$$, а центр $$O_1$$ лежит на прямой $$x=\frac a2$$. Тогда

$$CD^2=\left(\frac a2+\frac{k^2a}{1-k^2}\right)^2,$$

и после упрощения получаем

$$CD^2=CE^2+DE^2.$$

Следовательно, треугольник $$CED$$ прямоугольный, то есть

$$\angle CED=90^\circ.$$

Но $$CE$$ и $$DE$$ — радиусы двух окружностей, проведённые в точку их пересечения $$E$$. Значит, эти радиусы взаимно перпендикулярны.