Упр.1387 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки М1 окружности на луче OM1 взята такая точка М, что ОМ = k x OM1, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.

Пусть дана окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$. Для любой точки $$M_1$$ этой окружности на луче $$OM_1$$ отложена точка $$M$$ так, что

$$OM=k\cdot OM_1,$$

где $$k>0$$ — постоянное число.

Так как $$M_1$$ лежит на окружности, то $$OM_1=r$$. Тогда

$$OM=k\cdot r.$$

Значит, расстояние от точки $$M$$ до точки $$O$$ постоянно и равно $$kr$$. Следовательно, все такие точки $$M$$ лежат на окружности с центром в точке $$O$$ и радиусом $$kr$$.

Обратно, любая точка этой окружности получается из некоторой точки $$M_1$$ исходной окружности при указанном построении, поэтому множество всех точек $$M$$ именно таково.

Ответ

Множество всех точек $$M$$ — окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$kr$$.