Упр.1387 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Точка $$O$$ не лежит на данной окружности. Для каждой точки $$M_1$$ окружности на луче $$OM_1$$ взята такая точка $$M$$, что $$OM=k\cdot OM_1$$, где $$k$$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $$M$$.

Пусть дана окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$. Возьмём любую её точку $$M_1$$. По условию на луче $$OM_1$$ отмечена точка $$M$$ так, что

$$OM=k\cdot OM_1,$$

где $$k>0$$ — одно и то же число.

Рассмотрим произвольную точку $$M_1$$ окружности. Тогда все точки $$M$$ получаются из точек окружности гомотетией с центром в $$O$$ и коэффициентом $$k$$. При такой гомотетии расстояние от центра до каждой точки увеличивается в $$k$$ раз, а значит, образ лежит на окружности с тем же центром $$O$$ и радиусом $$kr$$.

Следовательно, множество всех точек $$M$$ — это окружность с центром в $$O$$ и радиусом $$kr$$.

Ответ: окружность с центром $$O$$ и радиусом $$kr$$.