Упр.1386 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Даны прямая $$a$$ и точка $$A$$, не лежащая на ней. Для каждой точки $$M_1$$ прямой $$a$$ на луче $$AM_1$$ взята такая точка $$M$$, что $$AM_1 \cdot AM = k$$, где $$k$$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $$M$$.

Рассмотрим координатную плоскость так, чтобы прямая $$a$$ совпадала с осью $$Ox$$, а точка $$A$$ имела координаты $$A(0;a)$$. Пусть $$M_1(m;0)$$ — произвольная точка прямой $$a$$, а точка $$M(x;y)$$ лежит на луче $$AM_1$$ и удовлетворяет условию

$$AM_1\cdot AM=k,$$

где $$k>0$$ — данное число.

Тогда

$$AM_1=\sqrt{m^2+a^2},$$

$$AM=\sqrt{x^2+(y-a)^2}.$$

Из условия получаем

$$\sqrt{m^2+a^2}\cdot \sqrt{x^2+(y-a)^2}=k,$$

откуда

$$\left(m^2+a^2\right)\left(x^2+(y-a)^2\right)=k^2.$$

Так как точка $$M_1$$ на прямой $$a$$ выбирается произвольно, то величина $$m$$ может принимать любые значения. Следовательно, множество точек $$M$$ задаётся уравнением окружности с центром в точке $$A$$ и некоторым радиусом.

Значит, искомое множество — окружность с центром в точке $$A$$.

Ответ: окружность с центром в точке $$A$$.