Упр.1386 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки Мх прямой а на луче АМ1 взята такая точка М, что АМ1 x AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.

Подробный ответ

Обозначим прямую $$a$$ осью $$Ox$$, а точку $$A$$ — точкой $$A(0; a)$$, где $$a \ne 0$$. Пусть $$M_1(m; 0)$$ — произвольная точка прямой $$a$$, а точка $$M(x; y)$$ лежит на луче $$AM_1$$ и удовлетворяет условию

$$AM_1 \cdot AM = k,$$

где $$k > 0$$ — постоянная.

Тогда

$$AM_1=\sqrt{a^2+m^2}, \qquad AM=\sqrt{x^2+(y-a)^2}.$$

По условию:

$$\sqrt{a^2+m^2}\cdot \sqrt{x^2+(y-a)^2}=k.$$

Возведём в квадрат:

$$\left(a^2+m^2\right)\left(x^2+(y-a)^2\right)=k^2,$$

откуда

$$x^2+(y-a)^2=\frac{k^2}{a^2+m^2}.$$

Это уравнение окружности с центром в точке $$A(0; a)$$.