Упр.1385 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Даны три точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и три числа $$a$$, $$b$$, $$y$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых сумма $$aAM^2+bBM^2+yCM^2$$ имеет постоянное значение, если:

а) $$a+b+y=0$$;

б) $$a+b+y=0$$.

Обозначим $$\alpha+\beta+\gamma=s.$$ Выберем систему координат так, чтобы $$A(0,0),\quad B(b,0),\quad C(c,d).$$ Пусть $$M(x,y).$$ Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=(x-b)^2+y^2,$$
$$CM^2=(x-c)^2+(y-d)^2.$$

Подставим в выражение:

$$\alpha AM^2+\beta BM^2+\gamma CM^2$$
$$=\alpha(x^2+y^2)+\beta\bigl((x-b)^2+y^2\bigr)+\gamma\bigl((x-c)^2+(y-d)^2\bigr)$$
$$=(\alpha+\beta+\gamma)x^2-2(\beta b+\gamma c)x+(\alpha+\beta+\gamma)y^2-2\gamma dy+\beta b^2+\gamma c^2+\gamma d^2.$$

а) $$\alpha+\beta+\gamma\ne 0$$

Тогда, разделив на $$s$$ и дополнив до квадратов, получаем

$$\left(x-\frac{\beta b+\gamma c}{s}\right)^2+\left(y-\frac{\gamma d}{s}\right)^2=\text{const}.$$

Это уравнение окружности, если правая часть положительна; если она равна нулю, получается одна точка; если отрицательна, решений нет.

б) $$\alpha+\beta+\gamma=0$$

В этом случае квадратичные члены исчезают, и остаётся линейное уравнение

$$-2(\beta b+\gamma c)x-2\gamma dy+\beta b^2+\gamma c^2+\gamma d^2=k.$$

Или, после переноса и деления на $$2$$,

$$(\beta b+\gamma c)x+\gamma d\,y+\frac{\beta b^2+\gamma c^2+\gamma d^2-k}{2}=0.$$

Это уравнение прямой, если хотя бы один из коэффициентов при $$x$$ и $$y$$ не равен нулю. Если же $$\beta b+\gamma c=0$$ и $$\gamma d=0$$, то возможны два случая: при ненулевой свободной части решений нет, а при нулевой свободной части подходит любая точка плоскости.

Ответ: а) окружность, точка или пустое множество; б) прямая, пустое множество или вся плоскость.