Упр.1384 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями $$\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=4$$ и $$x^2+y^2=1$$, и вычислите длину их общей хорды.

Рассмотрим систему уравнений окружностей:

$$\begin{cases} (x-1)^2+(y-2)^2=4,\\ x^2+y^2=1. \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$(x-1)^2+(y-2)^2-(x^2+y^2)=4-1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-2x+1+y^2-4y+4-x^2-y^2=3,$$

$$-2x-4y+5=3,$$

$$2x+4y=2,$$

$$x+2y=1.$$

Выразим $$y$$:

$$y=\frac{1-x}{2}.$$

Подставим в уравнение $$x^2+y^2=1$$:

$$x^2+\left(\frac{1-x}{2}\right)^2=1.$$

Умножим на $$4$$:

$$4x^2+(1-x)^2=4,$$

$$4x^2+1-2x+x^2=4,$$

$$5x^2-2x-3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$5x^2-2x-3=(5x+3)(x-1)=0.$$

Отсюда:

$$x_1=-\frac{3}{5}, \quad x_2=1.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=\frac{1-(-3/5)}{2}=\frac{4}{5}, \qquad y_2=\frac{1-1}{2}=0.$$

Точки пересечения окружностей:

$$A\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right), \quad B(1,0).$$

Теперь найдём длину общей хорды $$AB$$:

$$AB=\sqrt{\left(1+\frac{3}{5}\right)^2+\left(0-\frac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}.$$

$$AB=\sqrt{\frac{64}{25}+\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{80}{25}} =\sqrt{\frac{16}{5}} =\frac{4\sqrt{5}}{5}.$$

Ответ: $$A\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right),\ B(1,0),\ AB=\frac{4\sqrt{5}}{5}.$$