Упр.1383 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что: а) уравнение Ах + By + С = 0, где А и В одновременно не равны нулю, является уравнением прямой; б) уравнение х2-ху- 2 = 0 не является уравнением окружности.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение $$Ax+By+C=0,$$ где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю.

Если $$A=0,$$ то $$B\neq 0$$ и уравнение принимает вид

$$By+C=0,\qquad y=-\frac{C}{B}.$$

Это уравнение прямой, параллельной оси $$Ox$$.

Если $$B=0,$$ то $$A\neq 0$$ и уравнение принимает вид

$$Ax+C=0,\qquad x=-\frac{C}{A}.$$

Это уравнение прямой, параллельной оси $$Oy$$.

Если же $$A\neq 0$$ и $$B\neq 0,$$ то

$$By=-Ax-C,$$

откуда

$$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}.$$

Это линейная функция, её график — прямая.

Следовательно, уравнение $$Ax+By+C=0$$ при одновременном условии $$A\neq 0$$ и $$B\neq 0$$ является уравнением прямой.

б) Рассмотрим уравнение

$$x^2-xy-2=0.$$

Выразим $$y$$:

$$xy=x^2-2,\qquad y=\frac{x^2-2}{x}.$$

Это не уравнение окружности, так как в уравнении окружности после раскрытия скобок не может быть члена вида $$xy$$. Кроме того, полученная кривая имеет вид

$$y=x-\frac{2}{x},$$

то есть является не окружностью, а другой кривой.

Следовательно, уравнение $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.