Упр.1383 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что: а) уравнение $$Ax+By+C=0$$, где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю, является уравнением прямой; б) уравнение $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.
а) Рассмотрим уравнение $$Ax+By+C=0,$$ где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю.
Если $$A=0,$$ то $$B\neq 0$$ и уравнение принимает вид $$By+C=0,$$ откуда
$$y=-\frac{C}{B}.$$
Это уравнение прямой, параллельной оси $$Ox$$.
Если $$B=0,$$ то $$A\neq 0$$ и уравнение принимает вид $$Ax+C=0,$$ откуда
$$x=-\frac{C}{A}.$$
Это уравнение прямой, параллельной оси $$Oy$$.
Если же $$A\neq 0$$ и $$B\neq 0,$$ то
$$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}.$$
Это линейная функция, её график — прямая. Значит, уравнение $$Ax+By+C=0$$ при условии, что $$A$$ и $$B$$ не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.
б) Рассмотрим уравнение $$x^2-xy-2=0.$$
Преобразуем его:
$$xy=x^2-2,$$
$$y=\frac{x^2-2}{x}.$$
Уравнение окружности не содержит произведения переменных вида $$xy$$ и имеет вид
$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.$$
Кроме того, для данной кривой при $$x=0$$ уравнение не определяет значение $$y$$, а при больших $$|x|$$ получаем поведение $$y\sim x,$$ то есть кривая не может быть окружностью. Следовательно, уравнение $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.
Ответ
а) $$Ax+By+C=0$$ — уравнение прямой; б) $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.
