Упр.1382 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку $$M$$, для которой сумма её расстояний от точек $$A$$ и $$B$$ имеет наименьшее значение: а) $$A(2; 3)$$, $$B(4; -5)$$; б) $$A(-2; 4)$$, $$B(3; 1)$$.

Рассмотрим отражение одной из точек относительно оси абсцисс. Тогда для точки $$M$$ на оси $$Ox$$ сумма $$AM+BM$$ будет наименьшей, когда точки $$A$$, $$M$$ и отражённая точка $$B’$$ лежат на одной прямой.

а)

Даны точки $$A(2;3)$$ и $$B(4;-5)$$. Они лежат по разные стороны от оси $$Ox$$, значит искомая точка $$M$$ — это точка пересечения прямой $$AB$$ с осью абсцисс.

Найдём уравнение прямой $$AB$$:

$$\frac{x-2}{4-2}=\frac{y-3}{-5-3}$$

$$\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{-8} \Rightarrow -4(x-2)=y-3$$

$$y=-4x+11$$

Так как $$M$$ лежит на оси абсцисс, то $$y=0$$:

$$0=-4x+11 \Rightarrow 4x=11 \Rightarrow x=\frac{11}{4}$$

Следовательно,

$$M\left(\frac{11}{4};0\right).$$

б)

Даны точки $$A(-2;4)$$ и $$B(3;1)$$. Отразим точку $$B$$ относительно оси $$Ox$$. Получим точку $$B'(3;-1)$$.

Теперь искомая точка $$M$$ — это точка пересечения прямой $$AB’$$ с осью абсцисс.

Найдём уравнение прямой $$AB’$$:

$$\frac{x+2}{3+2}=\frac{y-4}{-1-4}$$

$$\frac{x+2}{5}=\frac{y-4}{-5} \Rightarrow -(x+2)=y-4$$

$$y=-x+2$$

Так как $$M$$ лежит на оси абсцисс, то $$y=0$$:

$$0=-x+2 \Rightarrow x=2$$

Следовательно,

$$M(2;0).$$

Ответ

а) $$M\left(\frac{11}{4};0\right)$$; б) $$M(2;0)$$.