Упр.1381 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс $$m_1$$, $$m_2$$ и $$m_3$$, сосредоточенных соответственно в точках $$A_1(x_1; y_1)$$, $$A_2(x_2; y_2)$$, $$A_3(x_3; y_3)$$.

Для двух масс точка равновесия имеет координаты

$$x_{12}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2},\qquad y_{12}=\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}.$$

Теперь заменим первые две массы одной равновесной массой $$m_1+m_2$$, расположенной в точке $$A_{12}(x_{12};y_{12})$$. Тогда для трёх масс получаем:

$$\begin{cases} (m_1+m_2)(x-x_{12})+m_3(x-x_3)=0,\\ (m_1+m_2)(y-y_{12})+m_3(y-y_3)=0. \end{cases}$$

Подставим выражения для $$x_{12}$$ и $$y_{12}$$:

$$\begin{cases} (m_1+m_2)x-(m_1x_1+m_2x_2)+m_3(x-x_3)=0,\\ (m_1+m_2)y-(m_1y_1+m_2y_2)+m_3(y-y_3)=0. \end{cases}$$

После преобразования получаем:

$$\begin{cases} (m_1+m_2+m_3)x=m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3,\\ (m_1+m_2+m_3)y=m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3. \end{cases}$$

Следовательно, координаты центра тяжести системы трёх масс:

$$x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3},\qquad y_c=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}.$$

Ответ: $$\left(\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3};\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}\right).$$