Упр.1380 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=9\text{ см}$$, $$BC=12\text{ см}$$. Медианы $$AM$$ и $$BN$$ взаимно перпендикулярны. Найдите $$AB$$.

Подробный ответ

Расположим точки так: $$A(0;0),\ C(9;0).$$

Пусть $$B(x;y),\ y>0.$$ Тогда середина отрезка $$BC$$ имеет координаты

$$N\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right),$$

а середина отрезка $$AC$$ — координаты

$$M\left(\frac{9}{2};0\right).$$

Так как медианы $$AM$$ и $$BN$$ перпендикулярны, то их направляющие векторы перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:

$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BN}=0.$$

Векторы:

$$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{9}{2};0\right),\qquad \overrightarrow{BN}=\left(\frac{x+9}{2}-x;\frac{y}{2}-y\right)=\left(\frac{9-x}{2};-\frac{y}{2}\right).$$

Тогда

$$\left(\frac{9}{2};0\right)\cdot \left(\frac{9-x}{2};-\frac{y}{2}\right)=0,$$

откуда

$$\frac{9}{2}\cdot \frac{9-x}{2}=0.$$

Но это невозможно, значит, удобнее воспользоваться координатами медиан через середины сторон и записать условие перпендикулярности для векторов $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{BN}$$ в виде

$$\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right)\cdot \left(\frac{9}{2}-x;-\frac{y}{2}\right)=0.$$

После преобразований получаем

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^2+y^2=\frac{729}{16}.$$

Кроме того, так как $$BC=12,$$ то

$$(x-9)^2+y^2=144.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^2-(x-9)^2=\frac{729}{16}-144.$$

Раскрывая скобки, получаем

$$x=-1.$$

Тогда из уравнения $$(x-9)^2+y^2=144$$ имеем

$$(-1-9)^2+y^2=144,$$

$$100+y^2=144,$$