Упр.1380 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В треугольнике ABC АС = 9 см, ВС= 12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.
Расположим точки так: $$A(0;0), \; C(9;0).$$ Пусть $$B(x;y), \; y>0.$$
Так как $$BN$$ — медиана, то $$N\left(\frac{9}{2};0\right).$$
Так как $$AM$$ — медиана, то середина отрезка $$BC$$ имеет координаты
$$M\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right).$$
Условие $$AM \perp BN$$ означает, что их направляющие векторы перпендикулярны:
$$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right), \qquad \overrightarrow{BN}=\left(\frac{9}{2}-x;-y\right).$$
Тогда их скалярное произведение равно нулю:
$$\left(\frac{x+9}{2}\right)\left(\frac{9}{2}-x\right)+\frac{y}{2}\cdot(-y)=0.$$
Умножим на $$2$$:
$$ (x+9)\left(\frac{9}{2}-x\right)-y^2=0,$$
откуда после преобразований получаем
$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^2+y^2=\frac{729}{16}.$$
Кроме того, по условию $$BC=12$$, значит
$$ (x-9)^2+y^2=144.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ (x-9)^2-\left(x+\frac{9}{4}\right)^2=144-\frac{729}{16}.$$
После раскрытия скобок получаем:
$$x=-1.$$
Подставим в уравнение $$ (x-9)^2+y^2=144 $$:
$$(-1-9)^2+y^2=144,$$
$$100+y^2=144,$$
$$y^2=44,$$
$$y=2\sqrt{11}.$$
Значит, $$B(-1;2\sqrt{11}).$$ Тогда
$$AB=\sqrt{(-1)^2+(2\sqrt{11})^2}=\sqrt{1+44}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.$$
Ответ
$$AB=3\sqrt{5}\text{ см}.$$
