Упр.1379 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-3; 0), В (0; 4), С (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Найдите координаты точки D.

Подробный ответ

Пусть $$D(x;y)$$ — точка пересечения биссектрисы $$AD$$ со стороной $$BC$$.

Так как $$D$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, то она равноудалена от сторон $$AB$$ и $$AC$$. Удобно воспользоваться формулой для биссектрисы через векторы:

$$ \frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}}{AC\cdot AD} = \frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}}{AD\cdot AB} $$

Найдём векторы:

$$ \overrightarrow{AC}=(3-(-3);\,0-0)=(6;0), $$
$$ \overrightarrow{AB}=(0-(-3);\,4-0)=(3;4), $$
$$ \overrightarrow{AD}=(x-(-3);\,y-0)=(x+3;y). $$

Длины этих векторов:

$$ AC=6,\qquad AB=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad AD=\sqrt{(x+3)^2+y^2}. $$

Подставим в формулу:

$$ \frac{6(x+3)}{6\cdot AD}=\frac{3(x+3)+4y}{5\cdot AD}. $$

Сокращая на $$AD$$, получаем:

$$ \frac{x+3}{1}=\frac{3(x+3)+4y}{5} $$
$$ 5(x+3)=3(x+3)+4y $$
$$ 2(x+3)=4y $$
$$ y=\frac{1}{2}(x+3). $$

Теперь найдём уравнение прямой $$BC$$. Через точки $$B(0;4)$$ и $$C(3;0)$$ она имеет вид:

$$ \frac{x-0}{3-0}=\frac{y-4}{0-4} $$
$$ 4x=3(4-y) $$
$$ y=-\frac{4}{3}x+4. $$

Точка $$D$$ лежит и на биссектрисе, и на прямой $$BC$$, значит, её координаты удовлетворяют системе:

$$ \begin{cases} y=\frac{1}{2}(x+3),\\ y=-\frac{4}{3}x+4. \end{cases} $$

Решим её:

$$ \frac{1}{2}(x+3)=-\frac{4}{3}x+4 $$
$$ \left(\frac{1}{2}+\frac{4}{3}\right)x=4-\frac{3}{2} $$
$$ \frac{11}{6}x=\frac{5}{2} $$
$$ x=\frac{15}{11}. $$

Тогда

$$ y=\frac{1}{2}\left(\frac{15}{11}+3\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{48}{11}=\frac{24}{11}. $$

Следовательно,

$$ D\left(\frac{15}{11};\frac{24}{11}\right). $$