Упр.1379 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вершины треугольника $$ABC$$ имеют координаты $$A(-3; 0)$$, $$B(0; 4)$$, $$C(3; 0)$$. Биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$D$$. Найдите координаты точки $$D$$.

Обозначим координаты точки пересечения биссектрисы $$AD$$ со стороной $$BC$$ через $$D(x;y)$$.

По теореме о биссектрисе треугольника

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(0+3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5,$$

$$AC=\sqrt{(3+3)^2+(0-0)^2}=6.$$

Значит,

$$\frac{BD}{DC}=\frac{5}{6}.$$

Точка $$D$$ делит отрезок $$BC$$ в отношении $$5:6$$, поэтому её координаты находятся по формуле деления отрезка:

$$x_D=\frac{6x_B+5x_C}{5+6}, \qquad y_D=\frac{6y_B+5y_C}{5+6}.$$

Подставим координаты $$B(0;4)$$ и $$C(3;0)$$:

$$x_D=\frac{6\cdot 0+5\cdot 3}{11}=\frac{15}{11},$$

$$y_D=\frac{6\cdot 4+5\cdot 0}{11}=\frac{24}{11}.$$

Ответ: $$\left(\frac{15}{11};\frac{24}{11}\right).$$