Упр.1378 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты её вершин равны: $$(x_1; y_1),\ (x_2; y_2),\ (x_3; y_3).$$

Обозначим середину стороны $$BC$$ через $$A_1$$. Тогда её координаты равны

$$A_1\left(\frac{x_2+x_3}{2};\frac{y_2+y_3}{2}\right).$$

Точка пересечения медиан $$M$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит, для медианы $$AA_1$$ имеем

$$M\left(\frac{x_1+2x_{A_1}}{3};\frac{y_1+2y_{A_1}}{3}\right).$$

Подставим координаты точки $$A_1$$:

$$x=\frac{x_1+2\cdot \frac{x_2+x_3}{2}}{3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3},$$

$$y=\frac{y_1+2\cdot \frac{y_2+y_3}{2}}{3}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}.$$

Следовательно, координаты центра тяжести треугольной пластинки:

$$M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).$$