Упр.1377 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны две точки $$A(x_1; y_1)$$ и $$B(x_2; y_2)$$. Докажите, что координаты $$\left(x; y\right)$$ точки $$C$$, делящей отрезок $$AB$$ в отношении $$L$$ (т. е. $$\frac{AC}{CB}=L$$), выражаются формулами $$x=\frac{x_1+Lx_2}{1+L},\quad y=\frac{y_1+Ly_2}{1+L}$$.

Подробный ответ

Пусть $$A(x_1;y_1),\; B(x_2;y_2),\; C(x;y),$$ причём $$C\in AB$$ и $$\frac{AC}{CB}=L.$$

Так как точки $$A,\; C,\; B$$ лежат на одной прямой, то отрезки $$AC$$ и $$CB$$ направлены вдоль одной и той же прямой. Поэтому их координатные приращения пропорциональны:

$$\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{y-y_1}{y_2-y}=L.$$

Отсюда получаем систему:

$$x-x_1=L(x_2-x),$$

$$y-y_1=L(y_2-y).$$

Решим её:

$$x-x_1=Lx_2-Lx,$$

$$x+Lx=x_1+Lx_2,$$

$$x(1+L)=x_1+Lx_2,$$

$$x=\frac{x_1+Lx_2}{1+L}.$$

Аналогично:

$$y-y_1=Ly_2-Ly,$$

$$y+Ly=y_1+Ly_2,$$