Упр.1376 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вершины четырёхугольника $$ABCD$$ имеют координаты $$A(x_1; y_1)$$, $$B(x_2; y_2)$$, $$C(x_3; y_3)$$ и $$D(x_4; y_4)$$. Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда $$x_1+x_3=x_2+x_4$$ и $$y_1+y_3=y_2+y_4$$.

Пусть вершины четырёхугольника имеют координаты $$A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2),\ C(x_3;y_3),\ D(x_4;y_4).$$

Докажем оба направления.

Необходимость

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм. Тогда противоположные стороны равны и параллельны, значит, их векторы равны:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

По координатам векторов имеем

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1),\qquad \overrightarrow{DC}=(x_3-x_4;\ y_3-y_4).$$

Следовательно,

$$x_2-x_1=x_3-x_4,\qquad y_2-y_1=y_3-y_4.$$

Переносим слагаемые:

$$x_1+x_3=x_2+x_4,\qquad y_1+y_3=y_2+y_4.$$

Достаточность

Теперь пусть выполнены равенства

$$x_1+x_3=x_2+x_4,\qquad y_1+y_3=y_2+y_4.$$

Тогда

$$x_2-x_1=x_3-x_4,\qquad y_2-y_1=y_3-y_4,$$

то есть

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

Следовательно, $$AB\parallel DC$$ и $$AB=DC$$. Значит, одна пара противоположных сторон четырёхугольника равна и параллельна, поэтому $$ABCD$$ — параллелограмм.

Итак, четырёхугольник $$ABCD$$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда

$$x_1+x_3=x_2+x_4,\qquad y_1+y_3=y_2+y_4.$$