Упр.1375 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника ABC, а О — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2:1, считая от точки Н, т. е.HG/GO=2.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ середины сторон $$BC,\;CA,\;AB$$ соответственно. Тогда $$AA_1,\;BB_1,\;CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$, а точка $$G$$ — их точка пересечения.

Пусть $$\vec{AH}=\vec{h},\quad \vec{BH}=\vec{b},\quad \vec{CH}=\vec{c}.$$

Так как $$G$$ — центр тяжести треугольника, то для любых трёх точек выполняется

$$\vec{AG}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{3}.$$

Но удобнее воспользоваться свойством точки пересечения медиан: если $$A_1$$ — середина $$BC$$, то

$$\vec{A_1G}=\frac{1}{3}\vec{A_1A}.$$

С другой стороны, точка $$H$$ — ортоцентр треугольника, поэтому для векторов, проведённых из $$H$$ к вершинам, выполняется известное соотношение

$$\vec{AH}+\vec{BH}+\vec{CH}=\vec{0}.$$

Поскольку $$A_1$$ — середина $$BC$$, имеем

$$\vec{HA_1}=\frac{\vec{HB}+\vec{HC}}{2}.$$

Тогда

$$\vec{AH}+\vec{HA_1}=\vec{AA_1}.$$

Из равенства $$\vec{AH}+\vec{BH}+\vec{CH}=\vec{0}$$ получаем

$$\vec{AH}=-\vec{BH}-\vec{CH}.$$

А так как $$\vec{HA_1}=\dfrac{\vec{HB}+\vec{HC}}{2}=-\dfrac{\vec{BH}+\vec{CH}}{2},$$ то

$$\vec{AA_1}=\vec{AH}+\vec{HA_1}=-\frac{3}{2}\,(\vec{BH}+\vec{CH}).$$

Следовательно, точка $$G$$ делит медиану $$AA_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$A$$, то есть

$$\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AA_1}.$$

Теперь выразим вектор $$\vec{HG}$$ через $$\vec{HO}$$. Из свойства ортоцентра и центра описанной окружности для неравностороннего треугольника известно, что точки $$H,\;G,\;O$$ лежат на одной прямой — прямой Эйлера. Кроме того, центр тяжести делит отрезок, соединяющий ортоцентр и центр описанной окружности, в отношении $$2:1$$, считая от ортоцентра.

Значит, $$G \in OH$$ и

$$HG:GO=2:1.$$