Упр.1375 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника $$ABC$$, а $$O$$ — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка $$G$$ пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку $$HO$$ и делит этот отрезок в отношении $$2:1$$, считая от точки $$H$$, т. е. $$\frac{HG}{GO}=2$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ середины сторон $$BC,\;CA,\;AB$$ соответственно.

Тогда медианы треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$G$$, и по свойству центра тяжести

$$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BB_1}.$$

Пусть $$H$$ — точка пересечения высот треугольника, а $$O$$ — центр описанной окружности. Известно, что для ортоцентра и центра описанной окружности выполняется векторное соотношение

$$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$

Так как $$A_1$$ — середина $$BC$$, то

$$\overrightarrow{OA_1}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$

Тогда

$$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OA_1}.$$

С другой стороны, для точки $$G$$ имеем

$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}.$$

Отсюда точки $$H,\;G,\;O$$ лежат на одной прямой, причём

$$\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OG}-3\overrightarrow{OG}=-2\overrightarrow{OG}.$$

Значит, $$G$$ принадлежит отрезку $$OH$$, а длины отрезков удовлетворяют соотношению