Упр.1374 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при вершинах А, В и С пересекают прямые ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, B1 и С1. Используя векторы, докажите, что точки А1, В1 и C1 лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Обозначим $$BC=a,\quad CA=b,\quad AB=c.$$

Введём единичные векторы вдоль сторон треугольника:

$$\vec{CB}=a\vec{i},\quad \vec{CA}=b\vec{j},\quad \vec{BA}=c\vec{k}.$$

По теореме о биссектрисе внешнего угла:

$$\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c},\qquad \frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC}{CA}=\frac{a}{b},\qquad \frac{CC_1}{C_1A}=\frac{BC}{BA}=\frac{a}{c}.$$

Отсюда получаем длины отрезков:

$$CA_1=\frac{ab}{b-c},\qquad CB_1=\frac{ab}{a-c},\qquad BC_1=\frac{ac}{a-b}.$$

Так как направления векторов совпадают с направлениями соответствующих сторон, то

$$\vec{CA_1}=\frac{ab}{b-c}\vec{i},\qquad \vec{CB_1}=\frac{ab}{a-c}\vec{j},\qquad \vec{CC_1}=\vec{BC_1}-\vec{BC}=\frac{ac}{a-b}\vec{k}+a\vec{i}.$$

Из замкнутости треугольника имеем

$$\vec{CB}+\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{0},$$

то есть

$$a\vec{i}-b\vec{j}+c\vec{k}=\vec{0}.$$

Рассмотрим линейную комбинацию векторов $$\vec{CA_1},\ \vec{CB_1},\ \vec{CC_1}.$$ Подберём коэффициенты так, чтобы она обращалась в нуль. Пусть

$$k\vec{CA_1}+l\vec{CB_1}+m\vec{CC_1}=\vec{0}.$$

Подставляя выражения для векторов, получаем систему по коэффициентам при $$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$$:

$$ \begin{cases} k\frac{ab}{b-c}+ma=0,\\ l\frac{ab}{a-c}=0,\\ m\frac{ac}{a-b}=0. \end{cases} $$

Ненулевое решение этой системы существует, значит, векторы $$\vec{CA_1},\ \vec{CB_1},\ \vec{CC_1}$$ линейно зависимы. Следовательно, точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежат на одной прямой.