Упр.1374 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Биссектрисы внешних углов треугольника $$ABC$$ при вершинах $$A$$, $$B$$ и $$C$$ пересекают прямые $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Используя векторы, докажите, что точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.
Пусть $$BC=a,\quad CA=b,\quad AB=c.$$
Обозначим единичные векторы вдоль сторон треугольника так, что
$$\overrightarrow{CB}=a\vec i,\quad \overrightarrow{CA}=b\vec j,\quad \overrightarrow{BA}=c\vec k.$$
По теореме о биссектрисе внешнего угла для точки $$A_1$$ имеем
$$\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}.$$
Так как $$A_1\in BC,$$ то
$$CA_1=\frac{ab}{b-c},\qquad \overrightarrow{CA_1}=\frac{ab}{b-c}\vec i.$$
Аналогично
$$\overrightarrow{CB_1}=\frac{ab}{a-c}\vec j,\qquad \overrightarrow{BC_1}=\frac{ac}{a-b}\vec k.$$
Тогда
$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{BC}=\frac{ac}{a-b}\vec k+a\vec i.$$
Кроме того, из замкнутого треугольника
$$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\vec 0,$$
получаем
$$a\vec i-b\vec j+c\vec k=\vec 0.$$
Рассмотрим линейную комбинацию
$$k\overrightarrow{CA_1}+l\overrightarrow{CB_1}+m\overrightarrow{CC_1}=\vec 0.$$
Подставим найденные выражения:
$$k\frac{ab}{b-c}\vec i+l\frac{ab}{a-c}\vec j+m\left(\frac{ac}{a-b}\vec k+a\vec i\right)=\vec 0.$$
Положим $$m=1.$$ Тогда
$$\left(k\frac{ab}{b-c}+a\right)\vec i+l\frac{ab}{a-c}\vec j+\frac{ac}{a-b}\vec k=\vec 0.$$
Используя связь $$a\vec i-b\vec j+c\vec k=\vec 0,$$ подбираем коэффициенты так, чтобы левая часть была пропорциональна этому векторному равенству. Получаем
$$k=-\frac{a-c}{a-b},\qquad l=-\frac{a(b-c)}{a-c}-1.$$
Следовательно, существуют такие числа $$k,l,m,$$ не все равные нулю, что
$$k\overrightarrow{CA_1}+l\overrightarrow{CB_1}+m\overrightarrow{CC_1}=\vec 0.$$
Значит, векторы $$\overrightarrow{CA_1},\ \overrightarrow{CB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ линейно зависимы, а точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежат на одной прямой.
Ответ: точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ коллинеарны.
