Упр.1373 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Обозначим

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\vec a,\quad \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}=\vec b,\quad \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PD}=\vec c,\quad \overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{QA}=\vec d.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=2\vec a,$$

а также

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}.$$

С другой стороны,

$$\overrightarrow{AD}=2\vec d,\quad \overrightarrow{DC}=2\vec c,\quad \overrightarrow{CB}=-2\vec b,$$

поэтому

$$2\vec a=2\vec d+2\vec c-2\vec b,$$

откуда

$$\vec a+\vec b=\vec c+\vec d.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\vec b-\left(-\vec a\right)=\vec a+\vec b,$$

$$\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{DP}-\overrightarrow{DQ}=\vec c-\vec d.$$

Из равенства $$\vec a+\vec b=\vec c+\vec d$$ получаем

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP},$$

значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$MNPQ$$. Тогда $$O$$ — середина отрезков $$MP$$ и $$NQ$$.

Обозначим

$$\overrightarrow{MO}=\vec p,\quad \overrightarrow{NO}=\vec q.$$

Так как $$O$$ — середина диагоналей $$MNPQ$$, то

$$\overrightarrow{OP}=\vec p,\quad \overrightarrow{OQ}=\vec q.$$

Теперь найдём векторы $$\overrightarrow{EO}$$ и $$\overrightarrow{OF}$$.

Поскольку $$E$$ — середина $$AC$$, а $$F$$ — середина $$BD$$, имеем

$$\overrightarrow{AE}=\vec m,\quad \overrightarrow{BF}=\vec n,$$

где

$$\vec m=\frac12\overrightarrow{AC},\quad \vec n=\frac12\overrightarrow{BD}.$$

Из свойств средних линий в треугольниках $$ABC$$ и $$ABD$$ получаем

$$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{MN},\quad \overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MQ},$$

то есть

$$\vec m=\overrightarrow{MN},\quad \vec n=\overrightarrow{MQ}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AE}=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO}\right)-\overrightarrow{AE}=\vec a+\vec p-\vec m,$$

$$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BF}-\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NO}\right)=\vec n-\left(\vec n+\vec q\right)=-\vec q.$$

Из равенства векторов для параллелограмма $$MNPQ$$ следует, что

$$\vec p=\vec q,$$

а значит

$$\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{OF}.$$

Следовательно, точка $$O$$ — середина отрезка $$EF$$, то есть середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.