Упр.1372 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите следующее утверждение: три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа $$k$$, $$l$$ и $$m$$, одновременно не равные нулю, такие, что $$k+l+m=0$$ и для произвольной точки $$O$$ выполняется равенство $$kOA+lOB+mOC=0$$.

Подробный ответ

Пусть точки $$A,\;B,\;C$$ лежат на одной прямой. Возьмём произвольную точку $$O$$ и проведём через неё прямую, параллельную прямой $$AC$$. Обозначим через $$\vec e$$ единичный вектор, направленный вдоль этой прямой.

Разложим векторы $$\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC}$$ на две составляющие: параллельную прямой $$AC$$ и перпендикулярную ей. Тогда

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA’}+\overrightarrow{OE},\qquad \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB’}+\overrightarrow{OE},\qquad \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC’}+\overrightarrow{OE},$$

где $$\overrightarrow{OA’},\ \overrightarrow{OB’},\ \overrightarrow{OC’}$$ параллельны прямой $$AC$$, а $$\overrightarrow{OE}$$ перпендикулярен ей.

Тогда

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC} = k(\overrightarrow{OA’}+\overrightarrow{OE})+l(\overrightarrow{OB’}+\overrightarrow{OE})+m(\overrightarrow{OC’}+\overrightarrow{OE})$$

$$= k\overrightarrow{OA’}+l\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’}+(k+l+m)\overrightarrow{OE}.$$

Если $$k+l+m=0$$, то перпендикулярная составляющая исчезает, и остаётся только сумма векторов, параллельных прямой $$AC$$. Выберем, например, $$k=1$$. Тогда можно подобрать $$l$$ и $$m$$ так, чтобы

$$1+l+m=0,$$

и одновременно

$$\overrightarrow{OA’}+l\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’}=\vec 0.$$

Так как точки $$A,\ B,\ C$$ лежат на одной прямой, их проекции на эту прямую удовлетворяют линейной зависимости, поэтому такие числа $$l$$ и $$m$$ существуют. Следовательно, существуют числа $$k,\ l,\ m\neq 0$$, для которых

$$k+l+m=0,\qquad k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$

Обратно, пусть для произвольной точки $$O$$ существуют числа $$k,\ l,\ m\neq 0$$ такие, что

$$k+l+m=0,\qquad k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$

Тогда, рассматривая это равенство как векторное уравнение, получаем, что векторы $$\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC}$$ линейно зависимы при условии $$k+l+m=0$$. Это возможно только тогда, когда точки $$A,\ B,\ C$$ лежат на одной прямой.

Итак, точки $$A,\ B,\ C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа $$k,\ l,\ m\neq 0$$ такие, что $$k+l+m=0$$ и

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$