Упр.1370 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны четырёхугольник $$ABCD$$ и точка $$O$$. Точки $$E$$, $$F$$, $$G$$ и $$H$$ симметричны точке $$O$$ относительно середин сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно. Что представляет собой четырёхугольник $$EFGH$$?

Обозначим середины сторон четырёхугольника $$ABCD$$ через $$M, N, P, Q$$ соответственно. Тогда точки $$E, F, G, H$$ симметричны точке $$O$$ относительно точек $$M, N, P, Q$$, значит $$M$$ — середина отрезка $$OE$$, $$N$$ — середина $$OF$$, $$P$$ — середина $$OG$$, $$Q$$ — середина $$OH$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$. В нём отрезки $$MN$$ и $$QP$$ соединяют середины сторон $$AB, BC$$ и $$DA, CD$$ четырёхугольника $$ABCD$$, поэтому $$MN \parallel QP$$ и $$MN=QP$$. Следовательно, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Теперь в треугольнике $$OEF$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$OE$$ и $$OF$$, значит $$MN$$ — средняя линия треугольника $$OEF$$. Поэтому

$$EF=2MN,\qquad EF \parallel MN.$$

Аналогично:

$$FG=2NP,\qquad FG \parallel NP,$$

$$GH=2QP,\qquad GH \parallel QP,$$

$$EH=2MQ,\qquad EH \parallel MQ.$$

Так как в параллелограмме $$MNPQ$$ противоположные стороны параллельны, то

$$MN \parallel QP,\qquad NP \parallel MQ.$$

Следовательно,

$$EF \parallel GH,\qquad FG \parallel EH.$$

Значит, четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм.

Ответ: $$EFGH$$ — параллелограмм.