Упр.137 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $$A$$, пересекает стороны угла в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что треугольник $$\triangle AMN$$ — равнобедренный.
2. На рисунке 53 (см. с. 31) $$BC=AD$$, $$AB=CD$$. Докажите, что $$\angle B=\angle D$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ANA_1$$ и $$\triangle AMA_1$$, где $$A_1$$ — точка пересечения прямой $$a$$ с биссектрисой угла $$A$$.

Имеем:

• $$\angle NAA_1=\angle MAA_1$$, так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$;
• $$\angle NA_1A=\angle MA_1A$$, так как $$a \perp AA_1$$;
• $$AA_1$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ANA_1 \cong \triangle AMA_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда соответствующие стороны равны:

$$AN=AM.$$

Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный.