Упр.1367 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

При гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом k=-2,серединные перпендикуляры переходят на прямые,содержащие высоты треугольника, значит точка пересечения серединных перпендикуляров переходит в точку пересечения высот, то есть ортоцентр, центр описанной окружности и центроид треугольника лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Рассмотрим треугольник и его центроид — точку пересечения медиан. Известно, что при гомотетии с центром в центроиде и коэффициентом $$k=-2$$ каждая середина стороны переходит в соответствующую вершину, а серединный перпендикуляр к стороне — в прямую, содержащую высоту треугольника.

Тогда точка пересечения серединных перпендикуляров, то есть центр описанной окружности, переходит в точку пересечения высот, то есть в ортоцентр.

Следовательно, центроид, центр описанной окружности и ортоцентр лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Эйлера.

Ответ

Центр описанной окружности, центроид и ортоцентр треугольника лежат на одной прямой — прямой Эйлера.