Упр.1366 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом $$k=-2$$ серединные перпендикуляры к сторонам треугольника переходят в прямые, содержащие высоты этого треугольника.

Пусть $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, $$O$$ — точка пересечения его медиан, а $$a$$ — серединный перпендикуляр к стороне $$AC$$. Тогда $$D \in a$$ и $$a \perp AC$$.

По свойству точки пересечения медиан треугольника точка $$O$$ делит медиану $$BD$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то есть $$BO=2OD$$. Значит, при гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$k=-2$$ точка $$D$$ переходит в точку $$B$$.

Так как прямая $$a$$ проходит через точку $$D$$, а при гомотетии прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую, то образ прямой $$a$$ — это прямая $$a_1$$, проходящая через точку $$B$$ и параллельная $$a$$.

Но $$a \perp AC$$, следовательно, и $$a_1 \perp AC$$. Значит, прямая $$a_1$$, проходящая через вершину $$B$$ и перпендикулярная стороне $$AC$$, является высотой треугольника $$ABC$$.

Итак, при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом $$k=-2$$ серединный перпендикуляр к стороне $$AC$$ переходит в прямую, содержащую высоту треугольника. Аналогично это верно и для серединных перпендикуляров к двум другим сторонам.