Упр.1362 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1362. На рисунке 418 ABCD — параллелограмм, Р и Q — середины сторон AD и ВС. Докажите, что: а) при гомотетии с центром в точке D и k=2 точка К переходит в точку L; б) при гомотетии с центром в точке В и k=2 точка L переходит в точку К.

Подробный ответ

1) Рассмотрим четырёхугольник $$AQC P$$. Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, а $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$, то

$$AP=PD,\qquad BQ=QC,\qquad AP \parallel QC.$$

Следовательно, $$AQC P$$ — параллелограмм, значит

$$AQ \parallel CP,\qquad AQ=CP.$$

Точка $$K$$ лежит на диагонали $$BD$$ и является точкой пересечения прямых $$AQ$$ и $$PC$$, поэтому в параллелограмме $$AQC P$$ отрезок $$PK$$ является средней линией треугольника $$ALD$$. Тогда

$$PK \parallel AL,\qquad PK=\frac12 AL.$$

При гомотетии с центром в точке $$D$$ и коэффициентом $$k=2$$ точка $$K$$ переходит в точку $$L$$, так как $$K$$ лежит на луче $$DL$$ и

$$DL=2\cdot KD.$$

Значит, $$K \to L$$.

2) Аналогично, в параллелограмме $$BQC P$$ имеем

$$BQ=QC,\qquad BQ \parallel QC.$$

Отсюда следует, что $$BQC P$$ — параллелограмм, а значит

$$QL \parallel CK,\qquad QL=CK.$$

Точка $$L$$ лежит на диагонали $$AC$$ и на прямой $$BQ$$, поэтому $$QL$$ является средней линией треугольника $$BCK$$. Тогда

$$QL \parallel CK,\qquad BL=LK.$$

Следовательно, при гомотетии с центром в точке $$B$$ и коэффициентом $$k=2$$ точка $$L$$ переходит в точку $$K$$, так как $$L$$ лежит на луче $$BK$$ и

$$BK=2\cdot BL.$$

Что и требовалось доказать.