Упр.1361 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

В окружности проведён диаметр АВ. Через точку А и произвольную точку М этой окружности проведена прямая, пересекающая в точке К касательную к окружности в точке В. Докажите, что произведение $$AM\cdot AK$$ не зависит от выбора точки М на окружности.

Рассмотрим треугольник $$ABK.$$ Так как $$BK$$ — касательная к окружности в точке $$B,$$ а $$AB$$ — диаметр, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит,

$$AB \perp BK,$$

и треугольник $$ABK$$ прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$BK^2=AK^2-AB^2.$$

С другой стороны, точка $$M$$ лежит на отрезке $$AK,$$ поэтому

$$AK=AM+MK,$$

откуда

$$MK=AK-AM.$$

Для секущей и касательной имеем:

$$BK^2=MK\cdot AK.$$

Подставим выражение для $$MK$$:

$$BK^2=(AK-AM)\cdot AK=AK^2-AM\cdot AK.$$

Сравнивая два выражения для $$BK^2,$$ получаем:

$$AK^2-AM\cdot AK=AK^2-AB^2,$$

следовательно,

$$AM\cdot AK=AB^2.$$

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, его длина постоянна, значит произведение $$AM\cdot AK$$ не зависит от выбора точки $$M.$$

Ответ: $$AM\cdot AK=AB^2,$$ это произведение постоянно.