Упр.136 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольниках $$DEF$$ и $$MNP$$ $$EF = NP$$, $$DF = MP$$ и $$\angle F = \angle P$$. Биссектрисы углов $$E$$ и $$D$$ пересекаются в точке $$O$$, а биссектрисы углов $$M$$ и $$N$$ — в точке $$K$$. Докажите, что $$\angle DOE = \angle MKN$$.
2. На рисунке 52 (см. с. 31) $$AB = AC$$, $$BD = DC$$ и $$\angle BAC = 50^\circ$$. Найдите $$\angle CAD$$.

Рассмотрим треугольники $$DEF$$ и $$MNP$$.

По условию $$EF=NP$$, $$DF=MP$$ и $$\angle F=\angle P$$. Значит, $$\triangle DEF \cong \triangle MNP$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда следует, что $$DE=MN$$, $$\angle D=\angle M$$, $$\angle E=\angle N$$.

Так как $$DO$$ и $$MK$$ — биссектрисы, то

$$\angle EDO=\frac{1}{2}\angle D,\qquad \angle NMK=\frac{1}{2}\angle M,$$
$$\angle DEO=\frac{1}{2}\angle E,\qquad \angle MKN=\frac{1}{2}\angle N.$$

Поскольку $$\angle D=\angle M$$ и $$\angle E=\angle N$$, получаем:

$$\angle EDO=\angle NMK,$$
$$\angle DEO=\angle MKN.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$DOE$$ и $$MKN$$. У них

$$DE=MN,$$
$$\angle EDO=\angle NMK,$$
$$\angle DEO=\angle MKN.$$

Следовательно, $$\triangle DOE \cong \triangle MKN$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие углы равны:

$$\angle DOE=\angle MKN.$$