Упр.1359 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дана окружность $$O$$ радиуса $$r$$, точка $$P$$ окружности и хорда $$AB$$. Постройте хорду $$PX$$ так, чтобы её середина принадлежала хорде $$AB$$.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ — середина отрезка $$OP$$.

Проведём окружность с центром в точке $$E$$ и радиусом $$OE$$. Эта окружность проходит через точки $$O$$ и $$P$$, значит, отрезок $$OP$$ является её диаметром.

Обозначим через $$F$$ точку пересечения построенной окружности с хордой $$AB$$. Тогда $$F$$ лежит на хорде $$AB$$ и на окружности с диаметром $$OP$$.

Теперь проведём прямую $$PF$$ и отметим точку $$X$$ её пересечения с данной окружностью $$O$$, отличную от $$P$$.

Так как $$P$$ и $$X$$ лежат на окружности с диаметром $$OP$$, то $$\angle OXP=90^\circ$$. Следовательно, $$OX\perp PX$$.

Кроме того, точка $$F$$ лежит на прямой $$PX$$ и на хорде $$AB$$, а значит, середина хорды $$PX$$ совпадает с точкой пересечения этой хорды с хордой $$AB$$. По свойству окружности хорда, проходящая через точку $$F$$ и построенная симметрично относительно диаметра $$OP$$, имеет середину на хорде $$AB$$.

Итак, построена хорда $$PX$$, середина которой принадлежит хорде $$AB$$.