Упр.1358 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть точка $$O$$ — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны данной трапеции. Используя гомотетию с центром в точке $$O$$, докажите, что точка $$O$$ лежит на прямой, проходящей через середины оснований трапеции.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Пусть $$O$$ — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции.

Так как $$AD \parallel BC$$, то при гомотетии с центром в точке $$O$$ одна из параллельных прямых переходит в другую. Значит, отрезок $$AD$$ переходит в отрезок $$BC$$.

Обозначим через $$E$$ и $$F$$ середины оснований $$AD$$ и $$BC$$ соответственно. При гомотетии середина отрезка переходит в середину его образа, следовательно, точка $$E$$ переходит в точку $$F$$.

Но при гомотетии все точки и их образы лежат на одной прямой, проходящей через центр гомотетии. Поэтому точки $$E$$, $$O$$ и $$F$$ коллинеарны.

Следовательно, точка $$O$$ лежит на прямой $$EF$$, что и требовалось доказать.